domingo, 12 de mayo de 2013

Café matemático... El teorema de Heffter-Young

El teorema de Heffter-Young proporciona una condición suficiente para la igualdad de las derivadas cruzadas de una función real de dos variables reales.
Teorema.
 Sea A \subseteq \mathbb{R}^2 abierto y sea f \colon A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}. Si las derivadas parciales D_1f,D_2fexisten en una bola B({\bf a},r) \subseteq A y son diferenciables en {\bf a} entonces D_{1,2}f({\bf a})= D_{2,1}f({\bf a}).
Corolario. 
Sea A \subseteq \mathbb{R}^n abierto. Si f \colon A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} es dos veces diferenciable en {\bf a} \in Aentonces D_{i,j}f({\bf a}=D_{j,i}f({\bf a}).
Demostración.

 Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que D_1f,D_2f existen en|x|,|y| < \delta y son diferenciables en (0,0). 

Como D_1f es diferenciable en (0,0),

D_1f(x,y)=D_1f(0,0)+ D_{1,1}f(0,0)x + D_{1,2}f(0,0)y + R(x,y),\;\;\displaystyle{\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{R(x,y)}{\|(x,y)\|}=0.}
Sea \Delta (t)=f(t,t)-f(0,t)-f(t,0)+f(0,0), donde |t|< \delta. 
Sea t fijo y consideremos la función auxiliar G(x)=f(x,t)-f(x,0). 
Aplicando el teorema del valor medio tenemos
\Delta (t)=G(t)-G(0)= G^\prime(x_0)t = [D_1f(x_0,t)-D_1f(x_0,0)]t, para algún 0<|x_0|<|t|.
Como D_1f es diferenciable en (0,0), tenemos las siguientes relaciones:
D_1f(x_0,t)=D_1f(0,0)+ D_{1,1}f(0,0)x_0 + D_{1,2}f(0,0)t + R_1(t),\;\; \displaystyle{\lim_{t \to 0} \frac{R_1(t)}{\|(x_0,t)\|}=0.}
D_1f(x_0,0)=D_1f(0,0)+ D_{1,1}f(0,0)x_0 + R_2(t),\;\;\displaystyle{\lim_{t \to 0} \frac{R_2(t)}{\|(x_0,0)\|}=0,}
de donde se deduce que \Delta (t)=[D_{1,2}f(0,0)t+R_1(t)-R_2(t)]t, 
y por lo tanto
\displaystyle{\frac{\Delta (t)}{t^2}=D_{1,2}f(0,0)+\frac{R_1(t)}{t}-\frac{R_2(t)}{t}.}
Ahora bien,
\displaystyle{\frac{R_1(t)}{t}=\frac{R_1(t)}{\|(x_0,t)\|} \cdot \frac{\|(x_0,t)\|}{t} \to 0}     cuando t \to 0,
\displaystyle{\frac{R_2(t)}{t}=\frac{R_2(t)}{\|(x_0,0)\|} \cdot \frac{\|(x_0,0)\|}{t} \to 0}     cuando t \to 0,
y llegamos a la conclusión de que
\displaystyle{\lim_{t \to 0} \frac{\Delta(t)}{t^2}=D_{1,2}f(0,0).}
Aplicando un razonamiento análogo a la función auxiliar
 H(y)=f(t,y)-f(0,y) resulta
\displaystyle{\lim_{t \to 0} \frac{\Delta(t)}{t^2}=D_{2,1}f(0,0).}
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