miércoles, 22 de mayo de 2013

Café matemático: El teorema de Liouville

Teorema. 
Toda función entera y acotada es constante.
Demostración. Digamos que f es una función entera tal que |f(z)| \leq M para todo z \in \mathbb{C}.Fijemos z_0 \in \mathbb{C} y observemos que aplicando las desigualdades de Cauchy tenemos
\displaystyle{|f^\prime(z_0)| \leq \frac{M}{r} \rightarrow 0\;\;\;{\rm cuando }\;\; r \rightarrow \infty.}
Ahora se sigue que f^\prime (z_0)=0 y por lo tanto f es constante, como queríamos demostrar.
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