miércoles, 22 de mayo de 2013

Café matemático: Fórmula integral de Cauchy para las derivadas (28222)

Teorema 
Sea \Omega \subseteq \mathbb{C} un abierto simplemente conexo, sea \gamma una curva simple cerrada orientada positivamente contenida en \Omega y sea z_0 \in \Omega un punto en la región delimitada por \gamma. Entonces f admite derivadas de todos los órdenes en z_0 y además
\displaystyle{f^{(k)}(z_0)= \frac{k!}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{f(z)}{(z-z_0)^{k+1}}dz.}
Demostración. 
Esta identidad se deduce de la fórmula integral de Cauchy derivando bajo el símbolo integral.

Fórmula integral de Cauchy


Teorema. 
Sea \Omega \subseteq \mathbb{C} un abierto simplemente conexo, sea \gamma una curva cerrada contenida en \Omega, y sea z_0 \in \Omega \backslash \gamma. Si f:\Omega \to \mathbb{C} es una función holomorfa entonces
\displaystyle{f(z_0) \cdot {\rm Ind}\,(\gamma,z_0)= \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0}dz.}
Idea de la demostración.
Consideramos la función auxiliar g(z) definida para cada z \in \Omegamediante la expresión
 \displaystyle{g(z)= \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}} si z \neq z_0 y g(z_0)=f^\prime(z_0). 
Observamos que g es holomorfa en \Omega \backslash \{z_0\} y continua en \Omega. 
Se sigue del teorema integral de Cauchy que
\displaystyle{0 = \int_\gamma g(z)dz = \int_\gamma \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} dz = \int_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0} dz- f(z_0) \cdot \int_\gamma \frac{dz}{z-z_0}, }
de donde se deduce que
\displaystyle{\int_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0} dz= f(z_0) \cdot 2 \pi i \int_\gamma \frac{dz}{z-z_0}=f(z_0) \cdot 2 \pi i \cdot {\rm Ind}\, (\gamma,z_0),}
como queríamos demostrar.
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