miércoles, 15 de mayo de 2013

Geometría Diferencial...(28010)

Sea C una curva en el espacio definida por la función  \mathbf{r}(u)  , según se ve en calculo \dst \frac{d \mathbf{r}}{du} es un vector tangente a C,
 a este vector lo llamaremos T. 

Al vector unitario B perpendicular al plano formado por T y N (la normal) se llama binormal a la curva.

dado que T es unitario se tiene que \dst \mathbf{T} \cdot \mathbf{T} = 1 , \dst \mathbf{T} \cdot \frac{d \mathbf{T}}{ds} = 0 (considerando al escalar u como la longitud de arco s medida a partir de un punto fijo de C)

lo que quiere decir que \dst \frac{d \mathbf{T}}{ds} es perpendicular a T, luego es paralelo a N
 (vector unitario en la dirección y sentido de \dst \frac{d \mathbf{T}}{ds} ) , esto es :


\frac{d \mathbf{T}}{ds} = k \mathbf{N}

De la figura se ve que B se puede definir como B= T X N, diferenciando


\dst \frac{d \mathbf{B}}{ds} = \mathbf{T} \wedge \frac{d \mathbf{N}}{ds} + \frac{d \mathbf{T}...


\dst \mathbf{T} \cdot \frac{d \mathbf{B}}{ds} = 0 , esto es,T es perpendicular a \dst \frac{d \mathbf{B}}{ds}, 
y este ultimo perpendicular a B, luego esta situado en el plano formado por T y N, luego es paralelo a N

\dst \frac{d \mathbf{B}}{ds} = -\tau \mathbf{N}

En el triedro móvil, N = B X T ,

 \dst \frac{d \mathbf{N}}{ds} = \mathbf{B} \wedge \frac{ d \mathbf{T}}{ds} + \frac{ d \mathbf...

\dst \frac{d \mathbf{N}}{ds} = \tau \mathbf{B} - k \mathbf{T}

Resumiendo, hemos obtenido las ecuaciones de Frenet - Serret

\dst \left\{\begin{matrix}\dst \frac{d \mathbf{T}}{ds} = k \mathbf{N} \\ \ \dst \frac{d \mat...

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