miércoles, 15 de mayo de 2013

Óliver y Benji... y la Física.

Óliver Áton}


En varias ocasiones vemos como Óliver pega un gran salto y da una chilena. 
La altura de un arco de fútbol es de 2.44m, y usualmente se ve que este muchachito de 14 años se eleva al doble de su altura , lo cual hace una altura de, poniendo números redondos, 5m de altura. 
Aproximadamente, desde que salta hasta que llega al punto más alto y remata pasan unos diez segundos. 
La pregunta es: ¿cuanto vale la gravedad en Japón?
 Vamos a calcularlo. Las ecuaciones del movimiento son:

\begin{equation*}\begin{aligned}y & = v_0 t - \frac12 g t^2 \ , \\ v & = v_0 - g t \ . \end{aligned}\end{equation*}


Cuando t = 10s, tenemos v=0 y y=5m, con lo cual nos quedan dos incógnitas, g y $ v_0$ . 
El sistema de ecuaciones es lineal, con lo cual podemos resolverlo de forma trivial siguiendo,
 por ejemplo, el método de Kramer,


\begin{equation*}\begin{aligned}g & = \dfrac{ \,\left\vert\begin{array}{cc} 10\m... ... \end{array}\right\vert \, } = 1 \mathrm{m / s} \ . \end{aligned}\end{equation*}


Es decir, la gravedad en Japón es unas cien veces menor que en la tierra, lo cual permite a Óliver pegar esos enormes saltos impulsándose tan sólo a $ 1\mathrm{m/s}$ . 

La única posibilidad para una gravedad tan pequeña es que el Japón de los dibujos se encuentra en un asteroide de pequeño diámetro en órbita al rededor del sol. 
Que tamaño tiene dicho Japón orbital? 
Suponiendo que tiene la misma densidad que la tierra,


$\displaystyle \rho = \dfrac{ M }{ 4\pi R^3/3 } = \dfrac{ 5.97 \cdot 10^{24} \mathrm{kg} }{ 4 \pi (6366 \mathrm{km})^3 /3} = 5524 \mathrm{kg / m^3} \ ,$   


podemos calcular el tamaño de Japón.
 Si consideramos un Japón esférico, la gravedad en su superficie es


$\displaystyle g = \frac{G M}{R^2} = \frac 43\pi G \rho R \ .$   


Substituyendo los resultados anteriores, tenemos R = 64.8km. 


2 ¿Por que no se ven las porterías hasta que se entra en el área?

El resultado anterior nos puede dar una idea, a lo mejor no se ve la portería a causa de la curvatura de un asteroide tan pequeñito. 
Siguiendo el procedimiento de cálculo estándar, veamos a que distancia está el horizonte de una persona de altura L = 1.60m (ya se sabe, los japos son bajitos). 
Sea $ \alpha$ el ángulo que sostienen (Ver la figura a continuación) los dos radios que unen la posición del observador y de su horizonte. 
La distancia a dicho horizonte será $ d = \alpha \, R$ . 

\includegraphics[scale=0.6]{horiz}



El horizonte es aquella región donde los rayos de luz que llegan al observador son paralelos al suelo, y por lo tanto, el ángulo $ \beta$ es un ángulo recto $ \beta = \pi/2 \mathrm{rad}$ . 
Se puede calcular el ángulo $ \alpha$ a través de su coseno, $ \cos \alpha = R / (R+L)$ , 
por lo tanto,

$\displaystyle d = R \, \mathrm{arccos} \left( \frac{1}{1+L/R} \right) = 455\mathrm{m} \ .$   


Dado que la portería empieza a aparecer cuando nos acercamos a la tercera parte del campo, sólo podemos sacar dos conclusiones, o bien el campo de juego mide un kilómetro y medio, o bien Óliver es terriblemente miope.

 Teniendo en cuenta que los japoneses suelen tener los ojos rasgados, y Óliver los tenía bien redondos (como la mayoría de los mangas), nos decantamos por esta segunda opción.
 Dejamos para el lector el cálculo de las dioptrías de nuestro pobre amigo Óliver Cegato. 

Sin embargo, no podemos descartar la posibilidad de que el campo donde Óliver disputa sus encuentros nos da una idea de porque nuestros héroes tardan medio capítulo en culminar el más rápido de los contra ataques. 
Con estas proporciones, el ancho del campo sería de unos 700m. 
Eso explica que prácticamente no se producieran saques de esquina, unos niños de esa edad no pueden llegar hasta cerca de la portería, que se encontraría a unos 350m del banderín de corner. 


\includegraphics[scale=0.5]{foto2}

3 La potencia de los disparos

En un célebre capítulo de Óliver y Benji vimos como el capitán del "Niupi" rechazaba un disparo de Marc Lenders desde su propia área grande.
 El rechace cruzaba todo el campo, rompía la red y la pared de atrás.
 El tiempo de vuelo de la pelota eran unos 5 segundos, con lo cual la velocidad de la pelota era, suponiendo despreciable la resistencia del aire,
 (recordemos que el estadio de Óliver mide quilómetro y medio)

$\displaystyle v = \dfrac{1500\mathrm{m}}{5\mathrm{s}} = 300 \mathrm{m/s} = 1080\mathrm{km/h} \ .$   

Dicho cálculo nos lleva a una gran decepción: 
Óliver Áton no es capaz de superar la velocidad del sonido, que es de $ 1220\mathrm{km/h}$ . 
Esto explica por que a Bruce se le quedaba la cara roja cada vez que recibía un pelotazo...
 y eso que sus compañeros se reían de él, pero en realidad era todo un héroe! 
Eso es una defensa antiaérea, y no la red de misiles que quería fabricar Bush. 

Otra interesante consecuencia de esta elevada velocidad es que el roce con el aire de la atmósfera del asteroide japoniano hace que se caliente el balón. 
De todos es conocido que un cuerpo a elevadas temperaturas es capaz de emitir luz según el espectro de Planck del cuerpo negro. 
Ciertamente, en gran parte de los disparos de Óliver vemos como el balón deja un estela de intenso color amarillo.
Como sabemos de termodinámica, el máximo de emisión del espectro del cuerpo negro a una temperatura dada viene dada por la ley del desplazamiento de Wien,


$\displaystyle \lambda = \dfrac{2.898 \cdot 10^{-3} \mathrm{m\,K}}{T} \ .$   

Teniendo en cuenta que la longitud de onda media del amarillo es $ \lambda = 5.8 \cdot 10^{-7} \mathrm{m}$ , 
deducimos que la temperatura del balón es T = 4997K, es decir, unos 4725^oC. 
Sin embargo, el balón permanece intacto después del chute. 
Esto demuestra, de paso, otra cosa. 
Los balones de fútbol se hacen con piel (cuero) de vaca; por lo tanto,
 las vacas de Japón son ignífugas! ciertamente, no se por que los bomberos no se hacen los trajes del mismo material que los balones Japoneses. 

4 La masa de Ed Warner

Uno de los goles más celebrados de nuestro héroe Japonés se produce cuando tras unos de sus imponentes chupinazos y Ed Warner, el arquero del equipo de Marc Lenders, detiene el balón con una espectacular palomita, pero la potencia del tiro de Áton hace que pelota y arquero se introduzcan en la red. 
Podemos utilizar esto para calcular la masa del portero Ed Warner. 
Warner se hace con el balón cuando éste iba prácticamente por la escuadra 
(que, como dijimos anteriormente, tiene una altura de 2.44m). 
Pongamos que su centro de masas se encuentra a una altura inicial $ y_0$ = 2m. 
La potencia del tiro le hace retroceder hasta caer al suelo 
unos tres metros por detrás de la linea de gol. 
Para nuestro cálculo, debemos tener en cuenta que el peso del balón medio es de m = 430g. Supondremos que el disparo del delantero del Niupi es similar al que estudiamos anteriormente,
 es decir, el balón viaja a

 $ v_0$ = 1080 $ \mathrm{km/h}$ = 300 $ \mathrm{m/s}$ . 

Ya estamos en condiciones de realizar el cálculo.
 El primer paso es calcular a que velocidad sale ed Warner y el balón tras haberlo atrapado. 
Para hacerlo, supondremos que Warner lo atrapa a una altura de dos metros sin velocidad vertical. Por lo tanto, la ecuación del movimiento nos dice que cuando Ed Warner llegue al suelo tendremos,

$\displaystyle 0 = y_0 - \frac12 g t^2 \ ,$   

de donde tenemos

$\displaystyle t = \sqrt{ \dfrac{2 y_0}{g} } \ .$   

En este tiempo, han recorrido una distancia horizontal d = 3m lo que nos da una velocidad

$\displaystyle v = \dfrac{d}{t} = d \sqrt{ \dfrac{g}{2 y_0} } \ .$   

Ahora, debemos utilizar la ley de conservación del momento. 
La pelota de m = 430g viaja a una velocidad $ v_0$ = 1080 $ \mathrm{km/h}$ . 
Después del choque, tanto Warner, de masa M como la pelota se mueven a una velocidad v.
 Por tanto,

$\displaystyle m v_0 = (m+M) v \ ,$   

de donde obtenemos

$\displaystyle M = m \left( \dfrac{v_0}{v} - 1 \right) = m \left( \dfrac{v_0}{d} \sqrt{ \dfrac{2 y_0}{g} } - 1 \right) \ .$   

Recordando que g = 0.1 $ \mathrm{m/s^2}$ , obtenemos el siguiente preocupante resultado,
$\displaystyle M = 272 \mathrm{kg} \ .$   

Ahora... ¿Qué pasaría si la pelota llega a darle a una persona normal? 
¿Lo sacaría de la tenue gravedad del asteroide Japón?

 Y eso que Ed Warner apenas parecía estar gordo... 
me aterro en pensar cuando debía pesar aquel portero que sí parecía estarlo... 
Seguro que gran parte de la gravedad de Japón se debe a ese único individuo. 

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