Hoy hablaremos del teorema de Pitágoras y el análisis dimensional, algo que, lo crean ustedes o no, forma parte de la vida cotidiana de gran número de personas (entre las que me cuento).
Terminada ésta justificación para colar con calzador el artículo en el presente carnaval, procedo:
Seguro que todos conocen el teorema de Pitágoras.
¿No te suena?, es aquel de:el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos en un triángulo rectángulo.
Un triángulo rectángulo es una cosa como ésta:
Como todo el mundo sabe, a los matemáticos les encanta ponerle nombre a cada segmento, a cada ángulo, … En éste caso, solamente nombraremos dos cosas, la hipotenusa y uno de los ángulos no rectángulos:
Ahora llega lo bonito: sabemos que si conocemos la hipotenusa c y el ángulo θ el triángulo queda completamente determinado.
Ésto quiere decir que no puede haber dos triángulos rectángulos que, siendo diferentes, tengan los mismos c y θ. Sabemos también que todo triángulo rectángulo tiene un área.
De las dos afirmaciones anteriores se deduce que debe existir una función que relacione el área de un triángulo conociendo únicamente c y θ, es decir:
Dado que un área debe tener dimensiones de longitud al cuadrado, deducimos que la función debe poseer la siguiente forma funcional:
Si, por último, dividimos el triángulo en dos triangulitos rectángulos de la siguiente manera, obtendremos dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al original:
Teniendo en cuenta que el área de las piezas separadas tiene que ser la misma que el área total, y aplicando la fórmula anterior, obtenemos:
y finalmente:
Aquellos que hayan tenido paciencia para llegar hasta el final, no me podrán negar que es una forma bonita e ingeniosa de resolver el problema.
