Existe un truco para identificar a los estudiantes de ciencias: si al pronunciar las palabras aplicación lineal, diagonalización de endomorfismos o forma canónica de Jordan un brillo febril, como de terror, cruza por su mirada, eso significa casi con toda seguridad que ha pasado por un curso de álgebra lineal a nivel universitario.
Para muchos, dicha asignatura, común al primer año de carrera de prácticamente cualquier carrera científica o técnica, es el primer encontronazo con matemáticas “de verdad”. Y la experiencia suele ser tirando a traumática… tanto que la mayoría de estudiantes tienen un concepto del álgebra lineal como una asignatura gris y árida.
Pues bien, hoy vamos a hablar aquí de aplicaciones lineales, concretamente de endomorfismos lineales en el plano… con la complicada intención de darles un poco de emoción y colorido.
¿Qué diablos era un endomorfismo lineal?…
pues muy sencillo, son funciones que convierten puntos en el plano en otros puntos en el plano (o vectores, si se prefiere)… y que lo hacen de forma lineal. Suelen expresarse mediante un producto matricial:
o lo que es lo mismo:
Su funcionamiento es el siguiente: introducimos un vector x y nos devuelve un vector y.
Vamos… que comen vectores x y cagan vectores y.
Por ejemplo, la aplicación lineal siguiente:
Transformará el vector (1,2) en el (2,1).
Podemos visualizar ésto como si la aplicación moviese el punto (1,2) a las nuevas coordenadas (2,1).
En un abuso de spanglish, se suele decir que la aplicaciónmapea el punto (1,2) en el punto (2,1):
Vector x en azul. Vector y en verde.
Una forma curiosa y bonita de comprender el efecto de una aplicación lineal es mapear varios puntos ubicados sobre un círculo.
Por ejemplo, una aplicación de reescalado:
O de reescalado y rotación:
Éste tipo de diagramas no solamente son bonitos estéticamente, si no que son únicos para cada endomorfismo bidimensional, como una firma única e irrepetible. A partir de ellos se pueden estudiar propiedades interesantes, como la invertibilidad o la estabilidad numérica de sistemas de ecuaciones (que, de hecho, fue la motivación profesional que me llevó a empezar a trazarlos), o estimar a ojo los autovectores.
Para terminar, una serie de aplicaciones generadas al azar con resultados más o menos bonitos:
Y para acabar, dos más, con acertijo incluido:
¿qué representan el par de rectas negras en éstos gráficos?
Todos los diagramas han sido generados con ayuda de Matlab.
