martes, 1 de diciembre de 2015

Mecánica Lagrangiana ...

Empezamos con nuestro paseo hacia la teoría cuántica de campos. 
 Este trabajo lo dividiremos en dos partes, la parte clásica y la parte cuántica.  En la primera parte revisaremos como se trabaja en física clásica con un campo, introduciendo elementos esenciales como el/la Lagrangiano/a y el Hamiltoniano  (ya hemos tratado a este objeto en el blog).
 Veremos qué es la acción y discutiremos la importancia de las simetrías. 
Posteriormente iremos a la parte cuántica del asunto.
En esta primera entrada daremos unas breves notas sobre mecánica Lagrangiana.

La Lagrangiana

La Lagrangiana es un objeto que contiene toda la dinámica de un sistema mecánico.  Es decir, conocida la Lagrangiana podemos obtener las ecuaciones del movimiento del sistema.  Para encontrar estas últimas hacemos uso de las conocidas como ecuaciones de Euler-Lagrange.  En esta primera toma de contacto simplemente introduciremos a mano dichas ecuaciones y posteriormente las derivaremos.
El objetivo esencial de esta entrada es mostrar que la mecánica Lagrangiana contiene exactamente la misma información que la mecánica Newtoniana.

Una partícula en una dimensión

Para hacer la discusión más sencilla inicialmente nos concentraremos en estudiar cómo evoluciona una partícula en una única dimensión con una energía cinética dada por T y sometida a un potencial V(x).
La Lagrangiana formalmente (y en los casos que nos vamos a ocupar) es la siguiente combinación:
L=T-V
Por lo tanto la Lagrangiana en nuestro caso será dada por:
–  Energía cinética:  T=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2, donde m es la masa de la partícula 
y \dot{x}=\dfrac{dx}{dt} es la velocidad de la misma.
–  Energía potencial:  En este caso supondremos que el potencial únicamente depende de la posición de la partícula, V(x), pero no de su velocidad \dot{x} o del tiempo, t.
La Lagrangiana será:
L=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)
Es importante recordar  que en este contexto, posiciones x y velocidades \dot{x} son tratadas como variables independientes, es decir, la Lagrangiana depende de dos variables (en este caso unidimensional), L=L(x,\dot{x}).

Las ecuaciones del movimiento: 

 Ecuaciones de Euler-Lagrange

Para obtener las ecuaciones del movimiento de una Lagrangiana dada emplearemos las ecuaciones de Euler-Lagrange:
\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\dfrac{\partial L}{\partial x}=0
Notemos que implican derivadas parciales respecto de posiciones y velocidades ya que L es función de ambas variables que se consideran independientes.
Entonces, en nuestro caso:
L=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)
Vamos a derivar las ecuaciones del movimiento:
1.- Calculamos \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}:
\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\dfrac{\partial}{\partial \dot{x}}\left(\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)\right)=m\dot{x}
Entendiendo que la masa es independiente del tiempo.
2.- Calculamos la derivada temporal de este resultado anterior:
\dfrac{d}{dt}(m\dot{x})=m\ddot{x}
3.-  Ahora calculamos el otro término:
\dfrac{\partial L}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)\right)=-\dfrac{\partial V}{\partial x}
4.-  Lo juntamos en la ecuación de Euler-Lagrange:
m\ddot{x}+\dfrac{\partial V}{\partial x}=0  que queda,   m\ddot{x}=-\dfrac{\partial V}{\partial x}
Es fácil reconocer que acabamos de encontrar la ley de Newton para fuerzas conservativas (aquellas que son el gradiente de un potencial cambiado de signo).  
Así que la mecánica escrita en términos Lagrangianos es totalmente equivalente a la mecánica de Newton.
Las ventajas sobre esta última son que se basa en el concepto de energía del sistema que es una magnitud escalar, no hay que colocar complicados diagramas de vectores y la obtención de las ecuaciones del movimiento es directa a través de la ecuación de Euler-Lagrange.  
Además veremos próximamente más características de la Lagrangiana que la hacen un concepto especialmente poderoso para el estudio de la dinámica de los sistemas físicos.
Os dejamos con un ejercicio de los que daremos la solución el próximo viernes:
Ejercicio: Consideremos una partícula de masa m sometida a una fuerza de Hooke F=-kx. Encontrar la ecuación del movimiento empleando el método Lagrangiano.
Ayuda:  El movimiento es en una única dimensión.  Hemos dado la fuerza, recordar que en este caso el potencial se recupera por integración directa.
En la próxima entrega discutiremos el concepto de Acción y su relación con la Lagrangiana.
Nos seguimos leyendo…
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