Teoría de Grupos, respuesta.

Jimena, respondiendo a tu pregunta:

¿Cuales son los grupos simétricos y alternados que son abelianos?

Respuesta

Estudiamos primero los grupos simétricos:

S₁ = {I} ==> abeliano

S₂ = {1, 2} = {(1, 2) , I} ; (1 2)(1 2) = I abeliano

S₃ = {1, 2, 3} = {I, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}

Podemos comprobar este grupo no es abeliano pues se tiene:

(2 3)(1 2) = (1 3 2) ; (1 2)(2 3) = (1 2 3)

Es decir, los resultados son distintos; el producto no es conmutable. Podemos decir entonces que Sn, con n igual o 3, no es aveliano puesto que podemos tomar dos ciclos que se corresponden con elementos de S₃ que no conmutan.

Estudiemos ahora los grupos alternados.

A₁ = {I} abeliano

A₂ = {I , (1 2)} abeliano

A₃ = {I , (1 2 3) , (1 3 2)} ; (1 2 3)(1 3 2) = I abeliano

A₄ = {I , (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4), (1 2 3), (1 2 4), (1 3 2), (1 3 4), (1 4 2), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)}

Vamos a considerar dos elementos del conjunto anterior para desarrollar el producto de ciclos entre ellos:

(1 4 2)(1 2 3) = (2 3 4) ; (1 2 3)(1 4 2) = (1 4 3)

Puesto que los productos no conmutan deducimos que A₄ no es abeliano.
Deducimos de lo anterior que A_n es no abeliano para n mayor o igual que 4, puesto que cualquier grupo A_n contendrá los elementos considerados en el ejemplo anterior.

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