Mecánica y Ondas, problema - respuesta.

 Lucrecia, respondiendo a tu pregunta:

Obtener la lagrangiana y las ecuaciones del movimiento del péndulo doble

 representado en la figura adjunta, 

en el que las longitudes l₁ y l₂ se corresponden con las masas m₁ y m₂.

Respuesta:

Vamos a considerar que el movimiento se desarrolla en unplano por lo que sólo necesitamos dos coordenadas generalizadas para describir su posición.

 Si tomamos los ángulos y y consideramos los ejes X e Y según están señalados en la figura, podemos poner :

Según estos datos, podemos determinar la energía cinética del sistema que será :

Para obtener el valor de la expresión encerrada dentro del primer paréntesis hacemos

De igual forma, para el cuerpo 2 tenemos:

Por todo ello, la energía cinética en coordenadas generalizadas será :

Para obtener la lagrangiana debemos considerar además la energía potencial de cada masa. Como sobre el sistema sólo actúa la fuerza de la gravedad, podemos poner : 

V = m₁.g.x₁ + m₂.g.x₂

Y tomando coordenadas generalizadas :

La lagrangiana del sistema es la diferencia entre la energía cinética 

y la energía potencial en coordenadas generalizadas y las ecuaciones del movimiento se expresarán :

Para cada término del desarrollo y considerando la notación utilizada para las variables generalizadas, tenemos:

Sustituyendo valores en (*) obtendremos las ecuaciones del movimiento para el objeto considerado.