Buscando la esquiva función-L

Las áreas “calientes” de esta imagen sugieren la presencia de funciones-L

 trascendentales de tercer grado

El mes pasado hubo un gran entusiasmo respecto a las “funciones-L”. Un estudiante de doctorado del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Bristol, Ce Bian, en colaboración con su supervisor, el Dr. Andrew Booker, ha descubierto algunas nuevas.

Ce Bian reveló su descubrimiento en un taller organizado por el Instituto Americano de Matemáticas donde equipos de investigadores de Europa y América, todos compitiendo por el mismo resultado, planeaban anunciar sus hallazgos. A pesar de ser “sólo” un estudiante de postgrado (el resto eran más veteranos), Bian fue el único en tener éxito antes del taller. Tras meses de trabajo y pruebas preliminares, finalmente logró dejar todo funcionando antes de volar a California – los ordenadores estaban calculando mientras él estaba en el aire.

El descubrimiento de Bian causó un considerable entusiasmo entre los principales matemáticos del mundo que asistían al taller. Dorian Goldfeld, Profesor de Matemáticas en la Universidad de Columbia en Estados Unidos, lo comparó al hallazgo de nuevos planetas en remotos sistema solares: “Sabemos que están allí fuera, pero el problema es cómo detectarlos y determinar su aspecto. Esto nos da una visión de los nuevos mundos”, comentó. Claramente, se había descubierto algo importante pero, ¿qué era? “Desafortunadamente, las funciones-L son como las partículas fundamentales en física, en el sentido de que son muy importantes para el universo en el que existen, pero difíciles de relacionar directamente con la experiencia cotidiana”, explicó Booker.

Existen dos tipo de funciones-L – algebraicas y transcendentales – pero de la misma forma que existen miles de millones de electrones en el universo, existen miles de millones de cada tipo de función-L, las cuales se clasifican de acuerdo a su grado. Por ejemplo, la función zeta de Riemann – la abuela de todas las funciones-L – es una función-L algebraica de primer grado que mantiene el secreto de cómo se distribuyen los números primos. Lo que Bian ha encontrado es una nueva clase de función-L – una ‘función-L trascendental de tercer grado’ – y ha mostrado cuatro ejemplos de tal tipo. La última función-L se descubrió hace más de 30 años cuando se halló la función-L trascendental de segundo grado por parte de Harold Stark de la Universidad de California en San Diego.

Los número primos – números divisibles sólo por uno o por ellos mismos – han sido el sujeto de una intensa investigación, probablemente desde los egipcios, y ciertamente desde los antiguos griegos. El problema de modelar su distribución es tentador para los matemáticos que trabajan en la Teoría de Números debido a que cuando uno observa los números individuales, los primos parecen estar distribuidos aleatoriamente, pero la distribución “global” de primeros sigue unas leyes bien definidas. Es algo parecido a la física que siguen las leyes bien definidas a macroescala, las cuales cambian por completo en la escala cuántica. Por lo que algunas preguntas fundamentales sobre los números primos, tales como la Hipótesis de Riemann, han permanecido sin resolverse durante más de un siglo.

La Hipótesis de Riemann, anunciada en 1859 y hoy uno de los problemas matemáticos más importantes aún no resueltos, busca comprender la conexión entre suma y multiplicación. Hay un premio aún sin reclamar de un millón de dólares para quien ofrezca una prueba válida para la hipótesis. Pero a pesar de no ser capaz de demostrarla, la mayoría de matemáticos piensan que es cierto; si no lo es, el mundo es un lugar muy distinto de lo que imaginamos. El descubrimiento de Bian de sus nuevas funciones-L es un pequeño paso hacia una mayor comprensión de estos esquivos objetos, y muchos matemáticos creen que la rota a la prueba de la Hipótesis de Riemann pasará por la familia de funciones-L.

Para comprobar que Bian verdaderamente había encontrado algo nuevo, y que su descubrimiento tenía todas las propiedades que esperaba que tuviese, Michael Rubinstein de la Universidad de Waterloo en Canadá, que atendía al taller, inmediatamente comprobó la Hipótesis de Riemann para este nuevo tipo de función-L. Rubenstein dijo entusiasmado: “Ser capaz de explorar este nuevo tipo de función-L me da el mismo entusiasmo que debe sentir un biólogo cuando descubren un nuevo mamífero. Las técnicas desarrolladas por Bian y Booker abren todo un nuevo campo de posibilidades para experimentar con estas nuevas potentes y misteriosas funciones”.

Para lograr sus resultados, el programar de ordenador de Bian necesitaba resolver sistemas de ecuaciones de aproximadamente 10 000 incógnitas, lo cual le llevó unas 10 000 horas de cálculos. Hace diez años este trabajo habría requerido un superordenador; hoy es factible usando un PC de sobremesa. Algún día, con suficientes avances en la Teoría de Números y potencia de cálculo, alguien tendrá éxito en la demostración de la Hipótesis de Riemann y ganará el primero del millón de dólares, pero Bian admite libremente que sus resultados son sólo un pequeño paso en el camino