Los llamados Siete Problemas del Mileno, y porque son denominados así. También veremos otros problemas que no están incluidos en estos últimos, bien porque están casi resueltos, en sentido de que hay posibles soluciones para casi todos los casos pero para algunos ejemplos no, por lo tanto, siguen siendo problemas sin resolver.
Estos problemas son "necesarios" por el echo de que una simple ecuación resuelta de cualquiera de estas conjeturas podría resumir un calculo de miles de horas en unos simples pasos simplificados. Si su solución no fuera tan exageradamente necesaria, no pagarían 1 millón de dolares por resolver cualquiera de estos. Sin contar las miles de primas de distintas empresas mundiales que matarían por tener la patente de cualquiera de estas conjeturas o problemas.
Este maravilloso mundo (ejem) es complicado, solo aceptado por esos señores que no tienen nada mejor que hacer que plantear un sencillo enunciado, y decir, yo creo que lo tengo demostrado, que ahora la gente se ponga horas y días y meses y años a intentar demostrar que estoy equivocado, o que estoy en lo cierto. Y lo peor de todo, es que ciertamente, hay gente que dedica su vida a esto.
Los denominados Siete Problemas del Milenio según el instituto Clay son los siguientes:
* P versus NP
Problema de Completitud.
*
Problema de geometría.
*
Problema de dimensiones y conectividad.
*
Problema de la distribución de los números primos.
* La teoría Yang-Mills
Problema de física cuántica.
* Ecuaciones Navier-Stokes
Problema sobre fluidos en movimiento.
*
Problema de ecuaciones algebraicas.
También he decidido incluir
Quien sabe si algún día algún ordenador será capaz de resolver todos estos enigmas y dejarán de dar dolor de cabeza a muchos matemáticos del mundo.
P=NP
Stephen Cook y Leonid Levin formularon este problema independientemente en 1971.
Stephen Cook lo explicó con un ejemplo semejante a éste. Usted llega a una fiesta, el salón está lleno de gente y se pregunta si conoce a alguna persona de la fiesta. Se lo pregunta al anfitrión y este le dice que usted conoce a la persona que está en la ventana. Inmediatamente usted ratifica lo dicho por el anfitrión (es fácil comprobarlo). Sin embargo, si no tuviese esta ayuda , tendría que examinar una a una a toda la gente y determinar si la conoce. Tardaría mucho tiempo en hacer esta operación.
El asunto tiene su importancia práctica. Los sistemas criptográficos de clave pública que todos usamos hoy en día (en Internet, por ejemplo) se basan en que tu ordenador (cuando envía un número de tarjeta de crédito a una tienda, pongamos por caso) pueda codificar mensajes utilizando para ello una clave pública y que el receptor (que es quien te ha mandado la clave pública) los pueda descifrar con una clave privada que sólo él conoce. Pero para que el método sea práctico, el creador de las claves debe ser capaz de construir la clave pública a partir de la privada en tiempo P, lo cual significa que reconstruir la privada a partir de la pública es un problema NP. Si resultara que P y NP son lo mismo, entonces cualquier tercero que intercepte el mensaje y la clave pública puede también descifrarlo en tiempo P. Así que tendríamos que inventar algo nuevo, porque un sistema en el que cuesta lo mismo codificar que romper el código es inútil.
Básicamente esta sencilla igualdad viene a decirnos que si para poder resolver P tenemos que hacer miles y miles de problemas, cuando para resolver NP tardamos menos, si conseguimos igualar P=NP, significaría que para P existe una solución NP y por lo tanto es efectiva.
La explicaci
ón de las siglas P y NP se refieren a los tiempos "polinómico" y "polinómico no determinista".
Conjetura de Goldbach
Stephen Cook y Leonid Levin formularon este problema independientemente en 1971.
Stephen Cook lo explicó con un ejemplo semejante a éste. Usted llega a una fiesta, el salón está lleno de gente y se pregunta si conoce a alguna persona de la fiesta. Se lo pregunta al anfitrión y este le dice que usted conoce a la persona que está en la ventana. Inmediatamente usted ratifica lo dicho por el anfitrión (es fácil comprobarlo). Sin embargo, si no tuviese esta ayuda , tendría que examinar una a una a toda la gente y determinar si la conoce. Tardaría mucho tiempo en hacer esta operación.
El asunto tiene su importancia práctica. Los sistemas criptográficos de clave pública que todos usamos hoy en día (en Internet, por ejemplo) se basan en que tu ordenador (cuando envía un número de tarjeta de crédito a una tienda, pongamos por caso) pueda codificar mensajes utilizando para ello una clave pública y que el receptor (que es quien te ha mandado la clave pública) los pueda descifrar con una clave privada que sólo él conoce. Pero para que el método sea práctico, el creador de las claves debe ser capaz de construir la clave pública a partir de la privada en tiempo P, lo cual significa que reconstruir la privada a partir de la pública es un problema NP. Si resultara que P y NP son lo mismo, entonces cualquier tercero que intercepte el mensaje y la clave pública puede también descifrarlo en tiempo P. Así que tendríamos que inventar algo nuevo, porque un sistema en el que cuesta lo mismo codificar que romper el código es inútil.
Básicamente esta sencilla igualdad viene a decirnos que si para poder resolver P tenemos que hacer miles y miles de problemas, cuando para resolver NP tardamos menos, si conseguimos igualar P=NP, significaría que para P existe una solución NP y por lo tanto es efectiva.
La explicación de las siglas P y NP se refieren a los tiempos "polinómico" y "polinómico no determinista".
Se calcula que en todo el mundo hay unas 20 personas que podrían resolver esta conjetura. Aparentemente es un sencillo rompecabezas matemático que formuló el historiador y matemático de Prusia, Christian Goldbach, y se lo comunicó por carta al famoso matemático Leonhard Euler en 1742.
La conjetura afirma que cada número par mayor de dos puede ser expresado como la suma de dos primos (entendiéndose por número primo todo aquel que solamente es divisible por si mismo y por 1). Por ejemplo, 18 equivale a la suma de 7 más 11 (ambos primos). En términos generales, se puede entender como N equivale a P1 más P2.
Se cree que la conjetura es cierta, pero hasta la fecha nadie ha sido capaz de conseguir una prueba irrefutable. Tal como lo expresó el propio Goldback: 'Considero que el teorema de que todo número par mayor de dos es una suma de dos primos es totalmente cierto, a pesar de que no lo puedo probar.'
El pensamiento inmediato que se nos ocurre a todos es que quizá un ordenador podría tener algo que decir, pero la verdad es que esto es cierto hasta un punto. El último intento que se hizo para resolver esta conjetura fue en 1998 cuando varios ordenadores demostraron que era cierto que cada número hasta los 400 mil millones cumplía con la conjetura. Pero no hay ordenador que pueda seguir calculando hasta el infinito.
La llave está en conseguir una prueba abstracta, una teoría matemática que sea capaz de demostrar que Goldback, profesor de matemáticas de San Petesburgo, tenía razón.
Problema de Completitud.
Los números primos han fascinado a los matemáticos desde siempre. A comienzos del siglo XIX Gauss y Legendre conjeturaron que el número de primos entre 1 y n, es más o menos igual a n/log(n). Dicho de otro modo, que la probabilidad de que un número muy grande elegido al azar sea primo es inversamente proporcional al número de cifras del mismo. Esta aproximación, hoy conocida simplemente como el Teorema de los Números Primos, fue demostrada al final del mismo siglo por Hadarmard y de
La demostración sigue ideas que Riemann propuso en 1851 pero cuyos detalles no pudo completar por falta de herramientas técnicas (el análisis complejo no estaba suficientemente desarrollado). Lo que Riemann observó es que la distribución de los números primos está estrechamente relacionada con el comportamiento de la llamada "función zeta de Riemann", que es la única extensión "natural" a los números complejos de la función zeta de Euler:
Esta función tiene dos tipos de ceros: los ceros "triviales" que son todos los números enteros pares y negativos y los ceros "no triviales", cuya parte real está siempre entre 0 y 1. La hipótesis de Riemann afirma que todos los ceros "no triviales" tienen como parte real 1/2. La hipótesis implicaría por ejemplo que la aproximación dada por el Teorema de los Números Primos es mejor de lo que ha sido posible demostrar hasta ahora.
Navier-Stokes
Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en todo tipo de fluidos.
Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando diferentes teoremas matemáticos, llegando así a la llamada formulación diferencial, que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.
Dichas ecuaciones son las siguientes:
Esta expresión representa el principio de conservación del momento lineal aplicada a un fluido general. La ley de conservación de la masa se escribe:
En estas ecuaciones ρ representa la densidad, ui (i = 1,2,3) las componentes cartesianas de la velocidad, Fi las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo, como la gravedad, P la presión del fluido, y μ la viscosidad dinámica.
donde Δ = eii es la divergencia del fluido y δij la delta de Kronecker. D / Dt es la derivada total o derivada material temporal siguiendo el fluido:
La no-linealidad de las ecuaciones se debe precisamente al término relacionado con la derivada total. Cuando μ es uniforme sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido se simplifican de la manera siguiente:
Conjetura de Poincaré
En 1904, el gran matemático francés Jules Henry Poincaré (1854–1912) conjeturó que el resultado obtenido para la esfera del espacio de dimensión 
3 tenía un análogo para la esfera del espacio de dimensión 4. En otras palabras:
En el espacio de dimensión 4, toda variedad de dimensión 3, cerrada y simplemente conexa, es homeomorfa a la esfera de dimensión 3.
El mismo Poincaré no consiguió probar su conjetura. Tampoco ninguno de sus contemporáneos ni sucesores. Con el tiempo, la conjetura cobró interés hasta convertirse en el problema abierto más notable de
Una técnica empleada con éxito algunas veces por los matemáticos para intentar resolver un problema difícil es particularizarlo, resolver el problema particularizado y, con las pistas que esto proporciona, retornar al problema original. En el otro extremo del espectro, está la técnica de generalizarlo, resolver el problema generalizado y, con la visión que de este modo se logra, retornar al problema original. Con este último enfoque, se procedió a generalizar
n+1, cada variedad compacta de dimensión n es homotópicamente equivalente a la esfera de dimensión n si, y sólo si, es homeomorfa a la esfera de dimensión n.Teoría de Yang-Mills
(mi enigama preferido)
Este es un problema para los físicos; o de los físicos. Lo que se pide es un modelo matemático que satisfaga los axiomas de cierta Teoría Cuántica de Campos conocida como Teoría de Yang-Mills o "Teoría gauge no-abeliana".
Las ecuaciones de Yang y Mills, introducidas en 1954, son en pocas palabras una generalización no conmutativa de la electrodinámica cuántica (QED), la cual a su vez es la versión cuantizada de la teoría electromagnética clásica de Maxwell.
Birch y Swinnerton
Los matemáticos siempre han estado fascinados por el problema de describir todas las soluciones de x,y,z a ecuaciones algebraicas como Euglides da una solución completa a esta ecuación, pero para ecuaciones más complicadas se convierte en algo extremadamente difícil. Realmente, en 1970 Yu. V. Matiyasevich demostró que el décimo problema de Hilbert no tiene solución, por ejemplo, no existe un método general para determinar cuando estas ecuaciones tienen una solución en números enteros.
En casos especiales se puede suponer que sí. Cuando las soluciones son de puntos de una variedad abeliana, la conjetura Birch y Swinnerton-Dyer dice que el tamaño del grupo de puntos racionales es relacionado con el comportamiento de la función asociada zeta z(s) cerca del punto s=1.
En particular esta increíble conjetura dice que si z(1) es igual a 0, entonces hay un numero infinito de puntos racionales (soluciones), y en oposición, si z(1) no es igual a 0, entonces hay solo un numero finito de dichos puntos.
Conjetura de Hodge
En el siglo veinte, los matemáticos han descubierto poderosas maneras de investigar la forma de objetos complicados. La idea básica es preguntar hasta que punto podemos aproximarnos a la forma de un objeto dado mediante pegar simples bloques geométricos de dimensión creciente.
Esta técnica paso a ser tan útil que se generalizo en diferentes formas, eventualmente llevando a herramientas que permiten a los matemáticos lograr un gran progreso en la categorización de una variedad de objetos que encuentran en sus investigaciones.
Desafortunadamente, los orígenes geométricos del proceso se oscurecen en la generalización. En algunos sentidos fue necesario añadir piezas que no tenían ninguna interpretación geométrica. La conjetura de Hodge explica que para un tipo particularmente interesante de espacios, llamados variedades algebraicas proyectivas, las piezas llamadas ciclos Hodge son actualmente combinaciones de piezas geométricas llamadas ciclos algebraicos.
Conjetura de Collatz
Fue formulada por el matemático Löthar Collatz en 1.937.
Escogemos un número natural n. Si es impar, lo multiplicamos por 3 y al resultado le sumamos uno. Si es par lo dividimos por dos. En cualquiera de los dos casos, al número obtenido le volvemos a aplicar el proceso.
Por ejemplo: 7 -> 22 -> 11 -> 34 -> 17 -> 52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1 -> 4 -> ...
Como observaréis, en nuestro caso hemos llegado a un ciclo: 4,2,1,4,2,1,4,2,1....
La conjetura de Collatz afirma lo siguiente: Sea cual sea el número natural de partida, SIEMPRE se llega a ese ciclo.
Demostración:
Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier número entero positivo:
- Si el número es par, se divide entre 2.
- Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.
Dado un número cualquiera, podemos considerar su órbita, es decir, las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, si n=13:
Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica (es decir, se repite indefinidamente a partir de un momento dado):
13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...
La conjetura dice que siempre alcanzaremos el 1 (y por tanto el ciclo 4, 2, 1) para cualquier número con el que comencemos.
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