lunes, 29 de junio de 2009

1/89, las sucesiones tipo Fibonacci y 1/69


S=\frac{F_0}{10}+\frac{F_1}{10^2}+\frac{F_2}{10^3}+\cdots = \frac{1}{10} \sum_{n=0}^\infty \frac{F_n}{10^{n}} = \frac{1}{89},

donde F_n son los números de Fibonacci, 0,1,1,2,3,5,8,13,\ldots,

es un problema.

¡Y hay gente que se sorprende!

Es el encanto de la matemática.

¡Imaginemos que el resultado fuera 1/69 en lugar de 1/89!

Sería como más “comercial,” digo yo, no sé.

Es curioso.

La sucesión de Fibonacci cumple F_n=a\,F_{n-1}+b\,F_{n-2}, con a=1, b=1,

y F_0=0, F_1=1.

El polinomio característico de esta relación de recurrencia

(o ecuación en diferencias finitas homogénea)


es p(r)=r^2-a\,r-b,

cuyas raíces nos dan directamente la solución general


r_{\pm} = \frac{ a \pm \sqrt{ a^2+4\,b}}{2}, F_n=\frac{1}{\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left( r_+^n + r_-^n\right),

con lo que la suma que queremos calcular es una simple suma de series de potencias


S=\frac{1}{10\,\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{r_+}{10}\right)^n + \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{r_-}{10}\right)^n\right),


que cuando converge nos da trivialmente

S=\frac{1}{10\,\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left( \frac{1}{1-{r_+}/10} - \frac{1}{1-{r_-}/10} \right)

S =\frac{1}{\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left(\frac{r_{+}-r_{-}}{(10-r_{+})\,(10-r_{-})}\right)=\frac{1}{(10-r_{+})\,(10-r_{-})}.

En el caso de la sucesión de Fibonacci, con a=1, b=1,,

obtenemos

r_{\pm}=(1\pm \sqrt{5})/2, y S=1/89.

¿Cómo podemos obtener 1/69?

Hay muchas maneras, por ejemplo,

con a=1, b=21, o con a=3, b=1.

Pero lo más curioso es que la sucesión tipo Fibonacci F_n=10\,F_{n-1}-69\,F_{n-2}

, da S=1/69.

¿Curioso o no?

Así es la matemática.

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