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Blog de Gustavo Canals, Dr. en Física, PhD.math. Argentina, Miembro investigador Proyecto SETI, Miembro del Proyecto ALMA-CHILE, Creador y Conductor del programa NO ESTAMOS SOLOS MISTERIOS Y EVIDENCIAS, 2 Premios ATVC, mejor programa de ciencia de latinoamérica, Miembro Investigador del CERN, Miembro de la Asociación Argentina de Ciencias- Master en Educación-Miembro de la Asociación Americana de Ciencias. Miembro del Max Planck Investigación Altas Energías Alemania.

jueves, 25 de junio de 2009

Pfaffiano de una matriz antisimétrica

Derivation from Determinant

We assume that $n$ is an even number and $A = (a i j)$ is an $n \times n$ skew-symmetric matrix.
The Pfaffian of $A$ can be derived as follows. Using the Laplace's formula we can write $det(A)$ as
$\det(A) = \sum_j a_{ij}C_{ij}, \,$
where $C i j = ( - 1) i + j det(A i j)$ is the $i j$ th cofactor of $A$ and $A i j$ is the $i j$ th minor of $A$ . By the adjugate formula, we have
$\det(A \times \mathrm{adj}(A))=\det(A)^n. \,$
We have
$\det\left( \begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ a_{31}&a_{32}&\cdots&a_{3n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array} \right) \times \det \left( \begin{array}{cccc}C_{11}&C_{21}&\cdots&C_{n1}\\ C_{12}&C_{22}&\cdots&C_{n2}\\ C_{13}&C_{23}&\cdots&C_{n3}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ C_{1n}&C_{2n}&\cdots&C_{nn}\end{array} \right) = \det\left( \begin{array}{cc} C_{11}&C_{21}\\C_{12}&C_{22}\end{array} \right) \det(A)^{n-2},$
Thus
$\det(A_{12, 12})\det(A)^{n-1} = \det \left( \begin{array}{cc} C_{11} & C_{21}\\ C_{12} & C_{22} \end{array} \right) \det(A)^{n-2},$
where $A_{12, 12} \,$ is the $(n-2) \times (n-2)$ minor of $A$ obtained by deleting the first two rows and the first two columns of $A$ . Of course, it is arbitrary that we have changed the first two rows in the above equation. In general we have
$C_{ii}C_{jj} - C_{ij}C_{ji} = \det(A_{ij,ij})\det(A), \,$
So far we have not used the assumption that $n$ is even and $A$ is skew-symmetric. With that, since $A i i$ is an $(n-1)\times(n-1)$ skew-symmetric matrix and $(n - 1)$ is odd, clearly $det(A i i) = 0$ and hence $C i i = 0$ . Similarly $C j j = 0$ . On the other hand,
$C_{ij} = (-1)^{n-1}C_{ji} = -C_{ji}. \,$
So the above equation is simplified as
$C_{ij} = (-1)^{i+j}\sqrt{\det(A_{ij,ij})\det(A)}. \,$ .
We now plug this back into the original formula for the determinant,
$\det(A) = \sum_j a_{ij}(-1)^{i+j}\sqrt{\det(A_{ij,ij})\det(A)}, \,$
which yields
$\sqrt{\det(A)} = \sum_j a_{ij}(-1)^{i+j}\sqrt{\det(A_{ij,ij})}. \,$

La aproximación de Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) se utiliza en física cuántica para aproximar el comportamiento de una partícula sujeta al efecto de muchas otras partículas como si estas generaran un campo promedio efectivo.
De esta manera se evita tener que considerarlas de forma individual.
La aproximación fue introducida por D.R. Hartree en 1928 y por V.A. Fock en 1930 , aunque se convirtió en una herramienta fundamental tras el trabajo de N.N. Bogoliubov en 1958 .
Cuando se requiere un resultado más preciso, hay que aplicar la aproximación hasta segundo orden, lo que requiere combinar y solapar las funciones de onda de la aproximación HFB a primer orden.
El signo del solape requiere evaluar una raíz cuadrada.
El problema es saber qué signo tiene que ser utilizado para esta raíz cuadrada.
En algunos problemas (en los que hay simetrías discretas) el resultado es independiente del signo (no importa el que sea).
Pero en otros problemas (en los que estas simetrías están rotas) la aproximación no dice qué signo usar.
El signo ha de ser calculado utilizando otra técnica.
Podemos utilizar una técnica muy elegante (que se basa en el uso de estados coherentes fermiónicos) con la que logra determinar el signo del término de solape sin ninguna ambigüedad.
El signo depende del pfaffiano de una matriz antisimétrica.
La nueva técnica es mucho más eficiente y sencilla de aplicar que otras técnicas alternativas, sin necesidad de recurrir al uso de matrices no hermíticas.
El nuevo resultado tiene múltiples aplicaciones, como el uso de la aproximación HFB para el estudio de la dinámica de protones o neutrones en núcleos atómicos con número atómico impar (la suma del número de protones y neutrones).

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Gustavo Adolfo Canals