viernes, 14 de octubre de 2011

Coordenadas Generalizadas

Coordenadas Generalizadas

Siempre tenemos la tendencia a expresar las variable dinámicas de un sistema en términos de las coordenadas espaciales (x,y,z).  
Sin embargo, muchas veces es conveniente elegir otras coordenadas para expresar el movimiento de un sistema. 
 Por ejemplo, en un péndulo como el de la figura:
Si nos empeñamos en usar las coordenadas (x,y) pues hemos de usar relaciones que involucran el coseno o el seno del ángulo que suscribe el péndulo con la vertical.

¿No sería mejor usar directamente el ángulo para describir el movimiento?
Pues bien, en el formalismo Lagrangiano tenemos permitido usar cualquier coordenada que describa los verdaderos grados de libertad de un sistema. 
 A estas coordenadas las denominamos coordenadas generalizadas que  representamos por q_i(t) donde el índice i toma valores entre 0 y N (para N grados de libertad discretos).

Acción


La acción tomará esta forma:
S=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q})dt
donde representaremos el punto final e inicial de la trayectoria (en el espacio representado por las que llamaremos espacio de configuración) 
q(t_1)=q_1 y q(t_2)=q_2.
Calculemos la variación de la acción \delta S al variar la coordenada generalizada o de configuración \delta q. 
 Hemos de imponer que las variaciones en los puntos inicial y final son nulas \delta q_1=\delta q_2=0.  
Para calcular la variación de la acción seguiremos los siguientes pasos:
1.-  \delta S=\delta \int L(q,\dot{q})dt  donde \int indicará \int_{t_1}^{t_2}.
2.-  \delta S=\delta \int L(q,\dot{q})dt= \int \delta L(q,\dot{q})dt
3.- Calculamos \delta L, que es análogo a calcular una diferencial:
\delta L=\dfrac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i
4.- Recordemos que la variación conmuta con las derivadas
 \delta \dot{q}=\delta \dfrac{d}{dt}q =\dfrac{d}{dt}\delta q.
5.-  Por tanto podemos escribir:
\delta S=\int \sum_i\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dfrac{d}{dt}\delta q_i\right)dt
El sumatorio aparece para indicar que hay que hacer 
eso para todas las coordenadas generalizadas.
6.-  El problema en esta ocasión es, como ya vimos, que tenemos variaciones de posiciones y velocidades pero sólo queremos dejar las variaciones en las coordenadas de configuración.
Ejercicio:  Demuestra por una integral por partes que se llega a esta expresión (recordando que las variaciones de las coordenadas en los puntos iniciales y finales se anulan):
\delta S=\int \sum_i \left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i\right)dt
7.- Ahora imponemos que la acción esté en un extremo \delta S=0 
y por lo tanto eso indica que el integrando tiene que ser nulo:
\dfrac{\partial L}{\partial q_i}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}=0
donde tenemos una ecuación por cada grado de libertad (N ecuaciones en este caso).  Es fácil ver que hemos llegado a las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Es por esto, porque sabemos que dichas ecuaciones provienen de imponer que la variación de la acción se anule (principio de acción extremal)
 que podemos aplicarlas directamente a una Lagrangiana.
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