viernes, 14 de octubre de 2011

Ejercicio...

Partiendo de la expresión:
\delta S=\int \sum_i\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dfrac{d}{dt}\delta q_i\right)dt
Demuestra por una integral por partes que se llegamos a este resultado: 
\delta S=\int \sum_i \left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i\right)dt
recordando que las variaciones de las coordenadas en los puntos iniciales y finales se anulan.
Solución: 
La integral por partes nos dice: \int udv=uv-\int vdu
Tomemos la parte que involucra a \delta\dot{q} de la primera integral:
\int_{t_i}^{t_f} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dfrac{d}{dt}\delta q_i dt
Para no escribir tanto aquí entenderemos en lo que sigue:  \int_{t_i}^{t_f}=\int
Apliquemos la integral por partes en este caso:
1.-  u=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}
2.- dv=\dfrac{d}{dt}\delta q_i dt
Por lo tanto:
1.-  du=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}dt
2.- v=\delta q_i
Agrupando todo esto tenemos:
\int \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dfrac{d}{dt}\delta q_i dt=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i|_{t_i}^{t_f}-\int_{t_i}^{t_f}\delta q_i\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}dt
El primer término de la derecha es claramente cero porque las variaciones en los puntos inicial y final son nulas:  \delta q_{i}(t_{i,f})=0
Por lo tanto:
\int_{t_i}^{t_f}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dfrac{d}{dt}\delta q_i dt=-\int_{t_i}^{t_f}\delta q_i\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} dt
Sustituyendo en la variación de la acción es directo comprobar que obtenemos el resultado que deseábamos.
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