alquimiayciencias: Cuerdas abiertas ... Cuerdas cerradas

Ya introdujimos la acción de Nambu-Goto.

El siguiente paso sería encontrar las ecuaciones de movimiento.

A estas se llegan extremando la acción:

$\delta S=0$

Y lo que obtenemos es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales que necesitan de condiciones de contorno para ser resueltas.

En esta entrada lo que queremos es identificar estas condiciones de contorno que están relacionadas con que las cuerdas sean abiertas o cerradas.

Cuerdas abiertas y cerradas

Las cuerdas son filamentos de una dimensión.

Está claro que podemos tener cuerdas abiertas y cerradas, no tenemos ningún motivo para descartar una y otra desde un punto de vista físico.

: Cuerda abierta

: Cuerda cerrada

Cada caso introduce condiciones llamadas condiciones de contorno que hace que se puedan hallar las soluciones a las ecuaciones de movimiento de la cuerda en cada caso.

Condiciones de contorno para cuerdas abiertas

Las coordenadas de la cuerda son $(\tau,\sigma)$ , para una cuerda abierta podemos

decir que $\sigma\in [0,\pi]$ , donde:

$\sigma=0$ y $\sigma=\pi$ son los puntos finales de la cuerda

Ahora, dentro de la cuerda abierta podemos tener dos situaciones:

1.- La cuerda tiene los extremos libres.

2.- La cuerda tiene los extremos fijados en alguna superficie (que en su momento podremos decir que los extremos están fijos en una brana).

Cada caso introduce una condición de contorno propia.

Condición de Neumann – Cuerda abierta con extremos libres

Está condición se formula del siguiente modo:

$\dfrac{\partial L}{\partial X'_\mu}|_{\sigma=0,\pi}=0$

Donde llamaremos $P^\sigma_\mu=\dfrac{\partial L}{\partial X'_\mu}$ por lo tanto podemos escribir:

$P^\sigma_\mu|_{\sigma=0,\pi}=0$

Esto se puede reescribir como: $\dfrac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}|_{\sigma=0,\pi}=0$

Físicamente esto implica que no hay flujo de momento en los extremos de la cuerda. Imaginemos esta situación:

1.- Tenemos una cuerda con extremos libres, la última fórmula sobre la condición de Neumann establece que la pendiente de la cuerda en los puntos finales ha de ser cero.

2.- Si no fueran cero significaría que los extremos tendrían una aceleración (la cuerda tiene una tensión que aplicaría una fuerza sobre el extremo). Dado que el extremo de la cuerda no tiene masa, la aceleración sería infinita, lo que nos conduciría a una situación no-física.

Con las condiciones de Neumann evitamos este problema.

Condición de Dirichlet – Cuerdas abiertas con los extremos fijos

Esta condición se formula de este modo:

$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{X}}|_{\sigma=0,\pi}=0$