domingo, 27 de noviembre de 2011

Campo Escalar: La ecuación de Klein-Gordon

Vamos a comenzar nuestro estudio de los campos cuánticos.  
En esta entrada voy a introducir la ecuación de Klein-Gordon. 
 La derivación de la misma la haremos de la forma más simple posible dejando para más adelante una derivación basada en un principio de acción.

Ecuación de Schrödinger y operadores cuánticos


Ya hemos hablado de la ecuación de Schrödinger en varias entradas,
 para una derivación de la misma.
La ecuación de Schrödinger es:
i\hbar\dfrac{\partial \psi}{\partial t}=-\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi
Esta ecuación se puede derivar del siguiente modo:
1.-  Partimos de la relación clásica de la energía:
E=\dfrac{p^2}{2m}+V(x)
2.-  Utilizamos la correspondencia entre cantidades clásica 
y operadores cuánticos:
\hat{E}=i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}
\hat{p}=-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial x}
\hat{\vec{v}}=-i\hbar\nabla
\hat{\vec{p}}^2=-\hbar^2\nabla^2
Recordemos que  \nabla^2=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}
\hat{x}=x
La ecuación de Schrödinger es de primer orden en el tiempo y de segundo orden en las derivadas espaciales.
  Esto supone un problema para afrontar un estudio relativista donde las coordenadas espaciales y temporales están en pie de igualdad.

Ecuación de Klein-Gordon


Tenemos que buscar una ecuación que trate igual las coordenadas temporales y espaciales, es decir, que aparezcan derivadas del mismo orden para tiempo y espacio. 
Esto nos asegura que la ecuación pueda ser consistente con los requerimientos de la relatividad especial.
  Para ello partimos de la relación relativista entre la masa, la energía y el momento:
E^2=p^2c^2+m^2c^4
Empleando las relaciones anteriores:
-\hbar^2\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}=-\hbar^2 c^2 \nabla^2 +m^2c^4
Esta ecuación ha de aplicarse sobre un campo que dependerá de las coordenadas espaciales y el tiempo:
\phi=\phi(\vec{x},t)
-\hbar^2\dfrac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=-\hbar^2 c^2 \nabla^2 \phi+m^2c^4\phi
Tomando \hbar=c=1
\dfrac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi+m^2\phi=0
Recordemos que:   \nabla^2=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}
Así que en este caso tenemos la agrupación:
\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2=\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}
A esta agrupación la denotaremos:  \Box = \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2
Esta agrupación es evidentemente invariante Lorentz, así que estamos seguros de que todos los observadores inerciales coinciden en la forma de la misma:
(\Box + m^2)\phi =0
Esta ecuación es la ecuación de Klein-Gordon.
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