domingo, 27 de noviembre de 2011

El problema de Klein-Gordon

En la entrada, Campo Escalar: La ecuación de Klein-Gordon he introducido la ecuación más básica para un campo relativista.  
En el contexto empleado estamos intentando describir una partícula de espín nulo bajo las leyes de la relatividad especial.
En esta entrada vamos a dar un argumento simple por el que esta interpretación no se sostiene. 
Posteriormente estudiaremos esto con más detalle y mostraremos como el paso a una teoría de campos soluciona estos problemas.

La ecuación de Klein-Gordon


Esta es una ecuación que se aplica para ver como evoluciona cuánticamente una partícula escalar, de espín nulo, de forma relativista.
(\Box + m^2)\phi=0
Expresada en términos de derivadas la ecuación reza así:
(\partial_\mu \partial^\mu +m^2)\phi=0
que describe una partícula libre relativista en el ámbito cuántico.

Solución a la ecuación de Klein-Gordon


Esta ecuación se soluciona fácilmente con una función
 de forma de onda plana:
\phi(\vec{x},t)=e^{-ip\cdot x}
donde $p=(E,\vec{p})$ y $x=(t,\vec{x})$.  Por lo tanto el producto es
p\cdot x=p_\mu x^\mu=Et-\vec{p}\cdot \vec{x}
Ahora calculemos las derivadas (nos centramos en una única dimensión espacial por simplicidad):
1.-  \dfrac{\partial \phi}{\partial t}=\dfrac{\partial}{\partial t}e^{-i(Et-px)}=-iEe^{-i(Et-px)}=-iE\phi
2.-  \dfrac{\partial \phi}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}e^{-i(Et-px)}=ipe^{-i(Et-px)}=ip\phi
Reagrupando para calcular 
 \dfrac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=-E^2\phi+p^2\phi
Introduciéndolo en la ecuación de Klein-Gordon:
(E^2-p^2)\phi=m^2\phi
(notemos que hemos efectuado un cambio de signo global)
Esto implica que \phi satisface:
E^2=p^2+m^2
De donde obtenemos:
E=\pm\sqrt{p^2+m^2}
Es decir, que tenemos soluciones de la ecuación que pueden tener energías negativas.  
Pero esto es “inaceptable”. 
Una partícula no puede tener energías negativas.
Este es el problema básico de la ecuación de Klein-Gordon, la presencia de estados de energía negativas.
Como veremos próximamente no tenemos únicamente este problema, también tenemos la aparición de que podemos tener probabilidades negativas (lo cual es más preocupante que lo de las energías). 
 Esto se puede solucionar reinterpretando la situación.  
Se verá que la raíz del problema es la presencia


 de las derivadas de segundo orden.
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