Simetrías
En la vida cotidiana llamamos simétricos a los objetos que son idénticos a ambos lados, izquierda y derecha; así, el cuerpo humano es simétrico: tanto a la izquierda como a la derecha tenemos brazos y piernas.
Si trazamos un eje imaginario que pase por el centro de la cabeza, a ambos lados del eje somos aproximadamente iguales.
Las palabras palíndromas tienen la misma lectura de izquierda a derecha y por tanto también son simétricas;
"Dábale arroz a la zorra el abad" es el más conocido.
En matemáticas definimos la simetría como la invariáncia frente a una transformación; las transformaciones de los ejemplos anteriores consisten en realizar un giro de 180 grados en torno al eje de simetría: son las simetrías izquierda-derecha.
Hay muchas más simetrías; por ejemplo si pensamos en el cuadrado de vértices ABCD en el plano eucĺideo, vemos que los giros alrededor de cualquiera de los cuatro ejes ac, db, AC, BD lo dejan invariante.
Fijándonos bien, veremos que, además, hay otros cuatro giros en torno al centro del cuadrado que también son invariantes, correspondiendo a los ángulos de giro 90, 180, 270 y 360 grados.
En total tenemos pues 4 + 4 = 8 transformaciones
de invariáncia para el rectángulo.
Clasificando simetrías
Pasando de las descripciones anteriores a la generalización, decimos que una simetría es un conjunto de giros g y simetrías axiales s: {g1, g2,..., gn, s1, s2, ..., sm}. Así, el cuadrado pertenece a la simetría {g1, g2, g3, g4, s1, s2, s3, s4}. De hecho el giro g4 de 360 grados es especial porque deja a los vértices en la posición original, así que le damos un papel distinto:
es el giro “neutro”, denominado g0.
Fijémonos además que las transformaciones se pueden concatenar, dando lugar a otras transformaciones; por ejemplo podemos aplicar una simetría
axial de 180 grados respecto al eje ac seguido de un giro de 90 grados respecto al centro.
Si partimos de la posición ABCD, pasaremos a la posición BADC y acabaremos en CBAD. Simbolizamos la concatenación de transformaciones con el símbolo “●”, de forma que nuestro ejemplo se escribiría g1● s2 (en este orden: primero escribimos la última transformación).
Se plantea una pregunta: ¿la transformación g1● s2 equivale a alguna de las transformaciones “elementales” {g1, g2, g3, g0, s1, s2, s3, s4}?
Pues sí: equivale a la simetría axial en torno al eje BD, que denominamos s4. Escribiremos g1● s2 = s4. Siempre tendremos que la concatenación de transformaciones producirá otra transformación elemental.
En tres dimensiones se incrementan el número de posibles transformaciones de simetría. Por ejemplo, para un cubo tenemos tres giros por los ejes que pasan por los centros de las caras, cuatro giros alrededor de los ejes que pasan por los vértices, y seis giros alrededor de los ejes que pasan por los puntos medios de las aristas; un total de 24 rotaciones.
Pasemos a otras figuras más complejas.
¿Cuántos transformaciones tendrá el octaedro?
Resultan ser las mismas que las del cubo; esta coincidencia se da en muchas otras figuras, como el dodecaedro y el icosaedro (120 transformaciones)
y nos da una indicación de la utilidad de estudiar las transformaciones de simetría en sí mismas, independientemente de las figuras.
Por otro lado, también pueden haber simetrías en los poliedros irregulares,
y en dimensiones mayores.
Para sistematizar la clasificación de simetrías de cualquier objeto en cualquier dimensión los matemáticos utilizan la teoría de grupos.
Teoría
de grupos
La herramienta que nos permite estudiar las transformaciones de simetría en general es la teoría de grupos.
El concepto de grupo y su desarrollo teórico fueron originalmente abordados en el siglo XIX para poder avanzar en el campo de la resolución de ecuaciones algebraicas.
Posteriormente se aplicaron a las transformaciones geométricas,
a las simetrías, y a muchos otros campos.
Un grupo, en matemáticas, es un conjunto de “objetos” (elementos del grupo) junto con una operación entre objetos que cumple determinadas propiedades. Los números enteros junto con la suma es un ejemplo de grupo con infinitos elementos. Y las simetrías con la operación ● también son un grupo,
finito en este caso.
Es fundamental el concepto de subgrupo: un subconjunto de las transformaciones que junto con la operación ● es también un grupo se denomina subgrupo; por ejemplo, el grupo de simetrías del cuadrado
{g1, g2, g3, g0, s1, s2, s3, s4} tiene el subgrupo de giros {g1, g2, g3, g0}, de forma que cualquier combinación de giros sigue siendo un giro. Así por ejemplo g1●g2 = g3 (un giro de 180 seguido de otro de 90 equivale a uno de 270 grados). En cambio el subconjunto {g1, s1} no es un subgrupo, ya que g1●s1 realiza un movimiento que es distinto tanto de g1 como de s1.
Tomemos un elemento cualquiera g de un grupo G={g1,g2,...,gn} y realizamos todas las operaciones g●g1, g●g2, ..., g●gn, ¿que obtendremos? Cada operación producirá un elemento de G, así que obtenemos de nuevo G. Denotemos por g●G al conjunto {g●g1, g●g2, ..., g●gn},
tenemos que g●G = G ¿Qué pasará si tomamos un subgrupo S de G?
En general tendremos que g●S no es igual a S.
Los subgrupos que cumplen g●S = S se llaman subgrupos normales.
Los grupos que poseen subgrupos normales se denominan grupos compuestos, en contrapartida a los grupos simples: aquellas que no poseen subgrupos normales. Podemos decir que tienen una estructura más simple en el sentido de que no podemos descomponerlo en subgrupos normales, son indivisibles.
En el estudio de los grupos, siendo los grupos simples los elementos básicos de los grupos, los matemáticos se preguntaron
¿Cuántos tipos de grupos simples hay?
Si nos limitamos a los finitos, su clasificación ha sido llevada a cabo por un número considerable de matemáticos del siglo XX;
se ha podido demostrar que hay dos categorías:
Grupos simples con cierta estructura: son los denominados cíclicos,los alternados, y los grupos de Lie
Grupos simples sin estructura, denominados esporádicos,
de los que se sabe que hay 26.
Los grupos esporádicos, que inicialmente se creyó que tenían menos interés, resultó ser que tienen su importancia.
El menor de todos ellos tiene 7920 elementos (grupo M24 de Mathieu),
y el mayor, conocido como “The Monster”, tiene nada menos que...
!808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 elementos!
En la página http://homepages.wmich.edu/~drichter/mathieu.htm podemos ver la “construcción” del grupo M24 basada en las transformacones simétricas de un poliedro complejo multidimensional de 24 vértices, 84 ejes y 56 caras.
Simetría y Física
En Física se utiliza el concepto matemático de simetría relacionado con la invariáncia frente a una transformación: se considera que una propiedad física es simétrica respecto a una transformación si ésta deja invariante a la propiedad. Por ejemplo, la simetría temporal significa que si invertimos el sentido del tiempo las leyes de la física siguen verificándose.
Más generalmente, la simetría CPT se refiere a la carga (positiva o negativa), al tiempo (avanzar o retroceder) y a la paridad espacial (espacio actual o su imagen especular dada por un espejo imaginario).
A. Emmy Noether , quizá la mujer más notable en la historia de las matemáticas, formuló el sorprendente teorema que lleva su nombre y que fundamenta esta interpretación de la simetría como invariancia; dice así: toda fórmula física simétrica implica la existencia de una magnitud física invariante, y viceversa. Así por ejemplo la simetría de traslación en el espacio (el espacio es el mismo si nos trasladamos una distancia x arbitraria) implica la conservación de la cantidad de movimiento p = masa x velocidad.
Simetrías
gauge (o simetrías de medida)
En Física moderna se expresan las ecuaciones que describen la dinámica de un sistema en términos de su Lagrangiano, que matemáticamente es una función de la energiza del sistema. Originalmente se usó exclusivamente en mecánica (mecánica de Lagrange) pero durante el siglo XX se que ampliando su uso al campo eletromagnético y a la mecánica cuántica.
Por ejemplo, el Lagrangiano de un móvil puntual con masa M que se mueve con velocidad variable V y aceleración A a lo largo de una recta es :
L(X,V,A) = (M/2)A - V
Resulta ser que el conjunto de tranformaciones del Lagrangiano de un sistema que lo dejan invariante matemáticamente, ¡resulta ser un grupo!.
A esta simetría aplicada a un campo físico (como el campo eletromagnético o el gravitatorio) se la conoce por simetría gauge.
El tratamiento de las teorías de campo mediante simetrías gauge, junto con la mecánica cuántica de campos, ha resultado en un avance espectacular en el conocimiento de la física desde mediados del siglo XX hasta la actualidad, y necesitaríamos mucho más espacio para explicarlo bien.
Sólo daremos algunas indicaciones breves de los logros conseguidos.
Al cuantificar un campo físico que posee simetría gauge, se necesitó postular
la existencia de nuevas partículas “teóricas”, simétricas a otras ya existentes: los bosones gauge. Posteriormente experimentos con aceleradores de partículas descubrieron que tales partículas realmente existían.
La teoría moderna de las partículas elementales, la llamada teoría estándar
o modelo estándar, es una teoría de simetría gauge cuántica .
A pesar de que la teoría estándar tiene un alcance y precisión tremendos,
no es completa en el sentido de que deja a la gravedad fuera.
Hay diversas lineas de trabajo que intentan formar una teoría del todo que incluya la física de partículas y la gravedad:
La supersimetria postula la existencia de la antimateria: cada partícula material debe de tener su partícula “especular”; así, el electrón tiene el antielectrón, el protón el antiprotón, etc. ¡Incluso postula la antigravedad y la existencia de partículas que viajan hacia atrás en el tiempo! Si os parece que todo esto es ciencia-ficción, sabed que muy recientemente ya han sido detectada la antimateria en el laboratorio: se crearon 300 átomos
de antihidrógeno que existieron durante 1.000 segundos antes de convertirse en energía pura.
La teoría de supercuerdas utiliza la famosa teoría de cuerdas junto con la supersimetría para obtener una teoría del todo.
Como curiosidad, señalar que últimamente se ha descubierto una posible relación entre la simetría de esta teoría y la del grupo “The Monster”,
el mayor de los grupos finitos esporádicos.
Bibliografia
Joaquin Navarro: Al otro lado del espejo.
Roger Penrose: El camino a la realidad
