Determinar la variación de la energía potencial de la luna, correspondiente a la acción gravitatoria del Sol y de la Tierra, entre las posiciones de eclipse de Sol y eclipse de Luna, suponiendo que las órbitas son circulares y coplanarias.

Datos: 

Radio de la órbita terrestre = 1'5.10¹¹ m        Radio de la órbita lunar = 3'8.10⁸ m

Masa de la Luna = 7'35.10²² kg        Masa del Sol = 1'99.10³⁰ Kg

G = 6'67.10^-11 N.m² /kg² 

Solución:

Las situaciones de eclipse de Sol se corresponde con la posición de la Luna en el punto A del dibujo,y la del eclipse lunar a la posición de la Luna en el punto B:

En el eclipse de Sol, la Luna está a una distancia del Sol igual a   d - r

En el eclipse de Luna, la Luna esta a una distancia del Sol igual a   d + r

En ambos casos la Luna está a una distancia de la Tierra igual a   r

La energía potencial de un objeto situado en un punto de un campo gravitatorio es igual al producto de su masa por el potencial gravitatorio del punto.

El potencial gravitatorio en un punto es igual a la suma escalar de los potenciales gravitatorios creados por las distintas masas que crean el campo. 

V_A = V_A,Sol  + V_A,Tierra = - G. M_Sol / (d - r)  -  G. M_Tierra / r

V_B = V_B,Sol  + V_B,Tierra = - G. M_Sol / (d + r)  -  G. M_Tierra / r

V_B - V_A = [ - G. M_Sol / (d + r)  -  G. M_Tierra / r] - [ - G. M_Sol / (d - r)  -  G. M_Tierra / r]

V_B - V_A =  - G. M_Sol / (d + r)  +  G. M_Sol / (d - r) =  G. M_Sol .[ 1 /(d - r) - 1 /(d + r) ] 

d - r = 1'5.10¹¹ - 3'8.10⁸ = 1'4962.10¹¹       

  d + r = 1'5038.10¹¹ 

V_B - V_A =  6'67.10^-11 . 1'99.10³⁰ .[ 1 / 1'4962.10¹¹ - 1 / 1'5038.10¹¹] = 4'48.10⁶  J/kg

La variación de energía potencial de la Luna entre las dos posiciones será igual a la masa de la Luna por la diferencia de potencial entre los puntos:

Ep_B - Ep_A = M_Luna . ( V_B - V_A ) = 7'35.10²² . 4'48.10⁶  = 3'29.10²⁹  Julios