E = mc²
Que nos dá la equivalencia relativista entre la materia y la energía mostró a la humanidad su enorme poder cuando el 16 de julio de 1945 cerca de Alamogordo, Nuevo México, el hombre detonó por vez primera una bomba basada no en el uso de la pólvora o en la nitroglicerina sino en la fuerza del átomo:
Aunque hay quienes argumentan que la bomba atómica no es en realidad una transformación de materia en energía, que sólo es una conversión de una energía potencial de ligadura almacenada en los átomos que es convertida en otro tipo de energía, la ecuación relativista es esencial para poder describir otros procesos en los cuales hay una transformación directa de materia en energía y, algo más espectacular aún, la transformación de energía en materia.
Antes de proseguir, haremos un alto breve para repasar otros hechos que no vienen de la Teoría de la Relatividad sino de otra rama de la física moderna, la Mecánica Cuántica. De acuerdo con la Mecánica Cuántica, dependiendo del experimento que se esté llevando a cabo una misma partícula puede comportarse como una partícula material o como unaonda de materia. Esta dualidad onda-partícula fue enunciada por vez primera por Louis de Broglie en 1924. Del mismo modo, y dependiendo del experimento que se esté llevando, un haz luminoso puede comportarse como una onda electromagnética o como si estuviese formado de partículas discretas llamadas fotones. La energía de cada una de estas partículas está dada por la relación:
E = hf
en donde E es la energía del fotón individual, f es la frecuencia de la luz que el fotón lleva consigo, y h es una constante conocida como la constante de Planck cuyo valor experimental es el siguiente en dos sistemas de unidades distintos:
h = 6.626·10-34 Joule·segundo
h = 4.136·10-15 eV·segundo
La constante de Planck es una constante física de carácter universal tan fundamental para la Mecánica Cuántica como la constante de gravitación universal G lo es para cuantificar la atracción de la gravedad.
Para abreviar cálculos, y utilizando la definición del Angstrom como medida de longitud:
1 Angstrom = 1 Å = 10-8 centímetro = 10-10 metro
es frecuente utilizar la expresión siguiente:
hc = (4.136·10-15 eV·segundo)(3·108 metros/segundo)(1 Å/10-10 metros)
hc = 12.4 KeV·Å
Puesto que los fotones viajan a la velocidad de la luz, su masa en reposo de acuerdo con la Teoría de la Relatividad debe ser cero y por lo tanto su energía debe ser totalmente una energía de movimiento (energía cinética). Para una masa en reposo de cero, m0 = 0, la relación relativista entre momentum y energía:
E² = (pc)² + E0
se convierte en
E = pc
en virtud de que E0 = m0c² = 0, lo cual nos permite obtener otra relación importante, la que nos proporciona el momentum del fotón:
E = hf = pc
p = hf/c
p = h/λ
Esta última relación inspeccionada en detalle por vez primera tal vez pueda dejar un poco perplejos a quienes crecieron acostumbrados a la idea Newtoniana del momentum definido como la masa de una partícula multiplicada por su velocidad, ya que si la masa (en reposo) de una partícula es cero la definición parecería inaplicable. Sin embargo, el fotón aunque tenga una masa de reposo igual a cero definitivamente tiene una energía cinética de movimiento, y es con esta energía cinética de movimiento hacia la cual extendemos nuestro concepto de momentum.
PROBLEMA: Calcular la longitud de onda y la frecuencia de un fotón de 2.0 KeV.
E = pc = (h/λ) c = (hc)/λ
λ = (hc)/E = 12.4 KeV·Å/2.0 KeV = 6.2 Å
f = c/λ = (3·108 metros/segundo)/(6.2·10-10 metros) = 4.84·1017 Hertz
La unidad derivada para el momentum mv está dada como 1 Kilogramo·metro/segundo. Sin embargo, en cálculos relativistas es frecuente utilizar las unidades de MeV/c para el momentum, lo cual proviene de la expresión relativista que relaciona la energía y el momentum:
E² = p²c² + E0²
PROBLEMA: Calcular el momentum de un fotón de 20 MeV.
p = E/c = (20 MeV)/c = 20 MeV/c
A la hora de calcular el momentum para una partícula, es muy importante tener en cuenta si se trata de un fotón o de una partícula material, porque en este último caso es necesario utilizar la expresión relativista completa en virtud de que la energía en reposo de una partícula material no es cero.
PROBLEMA: Calcular el momentum para un electrón de 2 MeV.
En este caso, se trata de una partícula material, un electrón, cuya masa en reposo ya habíamos visto en una entrada anterior que es igual a 0.511 MeV. Entonces:
E² = p²c² + E0²
(K + m0c²)² = (pc)² + (m0c²)²
( 2 MeV + 0.511 MeV)² = (pc)² + (0.511 MeV)²
p = 6.305 -.2611 = 2.458 MeV/c
PROBLEMA: Calcúlese la energía cinética de un neutrón cuyo momentum es de 200 MeV/c. Tómese la masa en reposo del neutrón como 939.55 MeV.
(K + m0c²)² = (pc)² + (m0c²)²
(K + 939.55 MeV)² = (200 MeV/c · c)² + (939.55 MeV)²
K = 21.05 MeV
Como resultado de la equivalencia E = mc² es enteramente posible (y de hecho ocurre) que al impactar una partícula sub-atómica con otra haya una conversión de buena parte de la energía cinética en energía radiante produciéndose un fotón en donde antes no lo había. Todo es cuestión de que los balances de energía antes y después de la colisión lo permitan.
PROBLEMA: Calcúlese la frecuencia de un fotón producido cuando un electrón de 20 KeV queda en reposo al chocar con un núcleo atómico pesado, suponiendo que toda la energía que llevaba el electrón va a dar al fotón. ¿Se conserva el momentum en este proceso?
Supondremos que el núcleo pesado queda igual tanto antes como después del choque, y por lo tanto su masa en reposo sigue siendo la misma y puede ser sacada fuera de los cálculos al permanecer invariable.
Si un electrón va en camino para chocar con un núcleo pesado, entonces el balance total de la energía total antes del choque (no tomando en cuenta la masa en reposo del núcleo pesado) es igual a la energía cinética relativista K que lleva el electrón sumada a la masa en reposo del electrón de 0.511 MeV. La energía cinética después del choque será igual a la energía del fotón creado, o sea E = hf, sumada a la energía en reposo del electrón el cual al quedar en reposo pierde toda la energía cinética que llevaba entregándola para la creación del fotón. Como el principio de la conservación de la energía exige que la energía total antes del choque sea igual a la energía total después del choque, entonces tenemos que:
Einicial = Efinal
K + m0c² = hf + m0c²
f = K/h = 20·103 eV/4.136·10-15 eV·segundo
f = 4.836·1018 ciclos/segundo = 4.836·1018 Hertz
El momentum del electrón antes del choque lo encontramos a partir de la ecuación relativista:
(K + m0c²)² = (pc)² + (m0c²)²
(0.o20 MeV + 0.511 MeV)² = (pc)² + (0.511 MeV)²
pinicial = 0.144 MeV/c
Por otro lado, si toda la energía que llevaba el electrón va a dar a la producción del fotón, entonces el fotón tendrá una energía de 20 KeV y su momentum será:
p = E/ c
pfinal = 20 KeV/c
Aparentemente, tenemos aquí un caso en el que el momentum no se conserva como resultado de la colisión, ya que del momentum inicial que teníamos de 0.144 MeV/c ahora sólo nos queda un momentum de 20 KeV/c. Esta diferencia se explica por el hecho de que el momentum restante es absorbido por el núcleo que detiene al electrón.
Uno de los primeros resultados extraordinarios de la unión entre la Teoría Especial de la Relatividad y la Mecánica Cuántica fue logrado por el físico teórico inglés Paul Adrian Maurice Dirac en 1928: la predicción de la existencia de la antimateria, específicamente la predicción de la existencia de una partícula bautizada como el positrón (la antipartícula del electrón), una predicción que fue confirmada experimentalmente cuatro años después por Carl Anderson en 1932, el concepto de la antimateria es algo que llegó a nosotros para quedarse.
Hay varias formas en las cuales se puede producir experimentalmente en el laboratorio un positrón, y una de ellas es precisamente mediante la conversión relativista de energía pura en partículas de materia.
A continuación tenemos una ilustración del principal y mejor conocido proceso mediante el cual un fotón luminoso, energía radiante pura, se convierte en dos partículas de materia:
En este proceso, un fotón de alta energía pasa cerca del núcleo de un átomo, y ayudado con su interacción con el campo eléctrico intenso que hay en la cercanía del núcleo del átomo que absorbe en buena parte el momentum del fotón, el fotón se transforma en dos partículas de materia, un electrón y un positrón (el positrón es una partícula idéntica al electrón pero con carga electrica positiva en lugar de negativa, de allí su nombre). Aunque la tendencia de dos cargas eléctricas de signo contrario es atraerse la una a la otra, en el diagrama tenemos la influencia de un campo magnético exterior aplicado al conjunto, el cual hace que el electrón inicie una trayectoria circular en un sentido (en el sentido de las manecillas del reloj) mientras que el positrón la inicia en el sentido opuesto (en sentido contrario a las manecillas del reloj).
Visto más de cerca el proceso, si imaginamos al núcleo del átomo (con carga eléctrica positiva) cubierto por varias capas de electrones (cargas eléctricas negativas) en torno suyo, entonces para esta interacción mediante la cual la energía radiante se transforma en materia en materia el fotón debe atravesar esas capas de electrones para llegar a la cercanía del núcleo del átomo, lo cual puede hacer sin problema alguno porque un fotón de luz es eléctricamente neutro. En pocas palabras, tenemos una situación como la que se muestra a continuación (obsérvese con cuidado que el fotón no es uno que choca de frente con el núcleo del átomo):
El par de partículas producido ha sido identificado con letras rojas para no confundirlo con los electrones que están orbitando como constituyentes del átomo, con la letra e-simbolizando al electrón del par con su carga negativa y con la letra e+ simbolizando al positrón del par con su carga positiva.
De acuerdo con el principio de la conservación de la masa-energía (ya no estamos hablando del principio de la conservación de la materia y el principio de la conservación de la energía como cosas separadas, sino como manifestaciones distintas de una misma cosa), para que se puedan producir dos partículas como el electrón y el positrón a partir de un fotón se requiere que la energía del fotón sea igual por lo menos a la masa en reposo de las dos partículas, ya que de lo contrario no podrá haber ninguna conversión en energía en materia bajo ningún tipo de circunstancia.
Puesto que en la fórmula relativista de equivalencia entre masa y energía tenemos como factor multiplicativo el cuadrado de la velocidad de la luz, se requiere una gran cantidad de energía para poder producir tan sólo una muy pequeña cantidad de masa. Esta es la razón por la cual los fotones de la luz visible tienen una energía insuficiente para convertirse bajo condiciones normales en partículas de materia. Ni siquiera los fotones de rayos-X tiene la energía suficiente para transmutarse en partículas atómicas ligeras.
Se requiere de fotones de muy alta energía conocidos como rayos-gamma para que estos puedan producir partículas de materia. Y las partículas de materia que puedan ser producidas a partir de un fotón tienen que ser partículas sumamente ligeras, ya que la creación de una partícula como un protón o un neutrón requiere de una cantidad extremadamente grande de energía con todo y que estamos hablando de pequeñísimas partículas atómicas.
Si la masa en reposo del electrón, medida en unidades MeV, es de 0.511 MeV, entonces el fotón debe tener por lo menos una energía de 1.022 MeV para poder producir las dos partículas (el electrón y su contraparte el positrón) en reposo. Y puesto que la energía de un fotón depende en forma directa de la frecuencia de la onda electromagnética que representa, podemos hablar de una frecuencia de umbral (threshold frequency) debajo de la cual un fotón no nos podrá producir un par electrón-positrón, o bien de una longitud de onda umbral arriba de la cual la creación del par no será posible.
PROBLEMA: Determinar la longitud de onda umbral para la creación de un par electrón-positrón.
Puesto que el fotón se mueve a la velocidad de la luz, su longitud de onda de umbral λu y su frecuencia de umbral fu están relacionadas como:
c = fu · λu
Y puesto que la energía del fotón individual está dada por E = hf, tenemos entonces:
E = h · c / λu
λu = hc/E
λu = (4.136·10-15 eV·segundo)(3·108 metros/segundo)/(1.022·106 eV)
λu = 0.0121 Angstroms
Pero no sólo la masa-energía debe ser conservada antes y después de la transformación de la energía en materia, también se requiere la conservación del momentum.
Como lo vimos arriba, el momentum del fotón está dado por p = h/λ, y esta es una cantidad que también tiene que ser conservada. En el umbral, toda la energía del fotón se nos va en la producción de un electrón y un positrón con energía cinética cero, pero al estar en reposo el momentum inicial del fotón parecería haberse esfumado hacia la nada, lo cual no puede ser.
Esta es la razón por la cual se requiere de la cercanía del núcleo de un átomo pesado, en virtud de que para que el momentum se pueda conservar se requiere de algo que pueda absorber el momentum del fotón inicial; esto es precisamente lo que hace el núcleo del átomo, actuar como una especie de amortiguador que absorbe el momentum que el fotón traía consigo.
Puesto que el núcleo del átomo es miles de veces más masivo que el electrón y el positrón juntos, puede absorber una gran cantidad de momentum sin necesidad de tener que absorber mucha energía. Esta es la razón por la cual la producción de pares es observada cuando rayos gamma de alta energía penetran un sólido en donde hay un núcleo atómico de alta densidad. El requerimiento de la cercanía del núcleo para lograr la conservación del momentum nos indica que la producción de pares no puede darse en el vacío.
El requerimiento de la conservación del momentum no es el único argumento que puede esgrimirse para negar la posibilidad de que la producción de pares pueda darse en el vacío. También podemos recurrir a argumentos de índole puramente relativista.
PROBLEMA: Demostrar, usando únicamente argumentos relativistas, que la producción espontánea de pares de partículas a raíz de un fotón de luz no puede darse en el espacio vacío.
La producción de un par de partículas debe ser considerada, hablando relativísticamente, como una invariante. Si un observador encuentra que se ha producido un par de partículas entonces cualquier otro observador que esté en moviento con respecto al primero también encontrará que se ha producido ese par de partículas. Sin embargo, como ya lo vimos en la entrada correspondiente al efecto Doppler relativista, la longitud de onda (o bien la frecuencia) de un fotón difiere de un observador a otro, esto es precisamente lo que dá origen al desplazamiento Doppler. Siempre es posible encontrar un observador que se esté moviendo con una velocidad y dirección tales que la longitud de onda de un fotón dado estépor encima de la longitud de umbral mínima necesaria para la creación de un par de partículas.
En el problema resuelto arriba, esta longitud de onda resultó ser igual a 0.0121 Angstroms.
Si el observador se está moviendo con respecto a un fotón en tal forma que la longitud de onda del fotón es de unos 0.5 Angstroms, para este observador no será posible que el fotón pueda convertirse en un electrón y en un positrón puesto que no tiene la suficiente energía para ello.
Puesto que este observador encuentra que la producción de pares no es posible en el espacio vacío, cualquier otro observador encontrará también que es imposible la producción de un par en un espacio vacío.
Se requiere forzosamente de la cercanía de un núcleo atómico pesado para que en la interacción del fotón con el mismo se reúnan las condiciones necesarias para la creación del par.
La cercanía del contenido energético del campo eléctrico del núcleo es lo que compensa por el movimiento relativo que pueda tener otro observador que detecta un corrimiento Doppler que disminuye el contenido energético del fotón, ya que al ocurrir tal cosa aumenta la velocidad del núcleo con respecto al observador en movimiento y con ello aumenta el núcleo su contenido energético relativista total con respecto a dicho observador.
PROBLEMA: Un fotón de longitud de onda 0.00030 Å produce un par electrón-positrón en la vecindad de un núcleo pesado. Calcular la energía cinética de cada una de las partículas si la energía cinética del positrón es el doble de la energía cinética del electrón.
Del principio de la conservación de la energía tenemos:
Einicial = Efinal
La energía inicial es la que posee el fotón, y la energía final es la que poseen el positrón y el electrón sumadas a sus masas en reposo que son 0.511 MeV para ambos. Designando a la energía cinética del positrón como K+ y a la energía cinética del protón como K- con lo cual K+ = 2K- , entonces:
hf = Epositron + Eelectron
hc/λ = K+ + m0c² + K- + m0c²
(12.4 KeV·Å)/(0.0030 Å) = 2K- + 0.511 MeV + K- + 0.511 MeV
4.133 MeV = 3K- + 1.022 MeV
K- = 1.037 MeV para el electrón
K+ = 2K- = 2(1.037 MeV) = 2.074 MeV para el positrón
Hemos visto cómo es posible que ocurra el espectacular proceso de conversión de energía en materia al llevarse a cabo experimentos con rayos gamma incidiendo sobre elementos con número atómico elevado (este proceso es uno de los procesos más efectivos de absorción de rayos gamma que se conocen).
El fenómeno de aniquilación de partículas, el proceso inverso a la creación de pares de partículas, es el que que ocurre cuando juntamos materia con antimateria, y es el que estudiaremos a continuación.
PROBLEMA: Demuéstrese que la aniquilación de un par electrón-positrón produciendo un solo fotón de luz no puede ocurrir.
La aniquilación de un par de partículas produciendo un solo fotón constituiría una violación directa a los principios de conservación de la energía y el momentum.
Si consideramos al electrón y al positrón inicialmente en reposo, el momentum inicial debe ser cero, y entonces tras la aniquilación el momentum final debe seguir siendo cero. Pero si se produce un solo fotón, el cual lleva consigo una cantidad definitiva de momentum p = E/c, no habría un fotón viajando en sentido opuesto cancelando con una cantidad igual de momentum negativo el momentum del otro fotón.
PROBLEMA: Calcúlense las energías de los dos fotones que se producen cuando ocurre una aniquilación entre un electrón y un positrón inicialmente juntos en reposo.
En virtud de que el momentum inicial del par electrón-positrón antes de la aniquilación es cero por estar ambas partículas en reposo, el momentum final después de la aniquilación también debe ser cero, lo cual implica que los dos fotones deben salir disparados en direcciones contrarias y deben tener de la misma energía. La energía de cada partícula del par es 0.511 MeV, de modo tal que el par combinado tiene una energía en reposo igual a 1.022 MeV.
Al producirse los dos fotones a partir de esta energía previa de 1.022 MeV, cada fotón se lleva la mitad de dicha energía. Entonces las energías de los dos fotones es de 0.511 MeV.
PROBLEMA: Un electrón y un positrón llevan a cabo un choque frontal, y la aniquilación de pares que dá como resultado la creación de dos fotones de 1.0 MeV cada uno viajando en sentidos opuestos. ¿Cuáles eran las energías cinéticas del electrón y el positrón antes del choque?
Puesto que los dos fotones salen disparados en sentidos opuestos y tienen la misma energía Eγ de 1.0 MeV, el momentum final después de haberse llevado a cabo la aniquilación del par debe ser cero.
Esto a la vez implica que el electrón y el positrón han de haber tenido energías cinéticas K+ y K- iguales antes del choque. Haciendo el balance de la energía antes y después del choque e igualando en virtud del principio de la conservación de la energía, tenemos lo siguiente:
K+ + m0c² + K- + m0c² = Eγ + Eγ
2K + 2m0c² = 2Eγ
2K + 2(0.511 MeV) = 2 (1.0 MeV)
Eγ = 0.489 MeV
PROBLEMA: Después de una aniquilación de un par en reposo, se encuentra que se producen tres fotones. ¿Cuál es la energía del tercer fotón, si los otros dos fotones producidos tienen energías de 0.10 MeV y 0.20 MeV?
Aplicando el principio de la conservación de energía al par inicialmente en reposo (con energía cinética K igual a cero para ambas partículas del par):
Einicial = Efinal
m0c² + m0c² = Efoton-1 + Efoton-2 + Efoton-3
0.511 MeV + 0.511 MeV = 0.1 MeV + 0.2 MeV + Efoton-3
Efoton-3 = 0.722 MeV
PROBLEMA: ¿Cuál es la cantidad máxima de positrones que puede producir un fotón de 100 MeV?
La cantidad máxima de positrones que pueda producir un fotón de 100 MeV tendrá lugar cuando todos los pares de partículas sean partículas en reposo, y cada par que incluye un positrón tiene una energía en reposo igual al doble de cada partícula del par, o sea igual a 2(0.511 MeV) = 1.022 MeV. Entonces la cantidad máxima de positrones que pueda producirse será igual a:
100 MeV / 1.022 MeV = 97 positrones
En todo lo que hemos estudiado, la equivalencia E = mc² es una fórmula indispensable para poder explicar en el análisis de fenómenos atómicos el destino de materia que aparece o desaparece aparentemente de la nada al igual que energía que aparece o desaparece aparentemente de la nada.
Si Einstein no hubiera obtenido dicha fórmula a partir de los dos postulados básicos de la Teoría Especial de la Relatividad, lo más seguro es que al ir avanzando la física atómica y nuclear dicha fórmula se habría tenido que deducir empíricamente, a reserva de que algún teórico explicase su verdadero significado.
Es posible que tengamos en estos momentos fórmulas a la mano detrás de las cuales hay mucha filosofía de fondo y de la cual ni siquiera nos estamos dando cuenta.
Puesto que las expresiones clásicas (no-relativistas) son más sencillas de utilizar que las expresiones relativistas, surge la interrogante sobre aquellos casos en los cuales sea válido utilizar con un buen grado de aproximación las expresiones clásicas en lugar de las expresiones relativistas, sabiendo de antemano que conforme el factor γ se acerca a la unidad (γ→1) las fórmulas relativistas se reducen a sus contrapartes clásicas. De la relación entre la energía cinética relativista K, la energía total E y la energía en reposo m0c²:
K = E – E0
K = γm0c² – m0c²
tenemos que γ es igual a:
γ = 1+ (K/m0c²)
Aquí vemos que cuando la energía cinética K es mucho menor que la energía en reposo m0c² (K « m0c²) entonces γ se acerca a la unidad y los resultados clásicos diferirán muy poco de los resultados relativistas. Entonces podemos utilizar la expresión clásica que nos relaciona a la energía cinética K de una masa m con su velocidad u:
K ≈ ½m0u²
Sin embargo, si la energía cinética K es de un orden de magnitud comparable con la energía en reposo m0c² (K ≈ m0c²), entonces no podemos utilizar la aproximación señalada, y de hecho no podemos utilizar ninguna aproximación, tenemos que utilizar las relaciones relativistas exactas.
Del otro extremo, si la energía cinética K es mucho mayor que la energía en reposo m0c² (K » m0c²) entonces podemos utilizar la expresión
E² = p²c² + E0²
para obtener una aproximación. Sacando raíz cuadrada de ambos miembros:
E = [p²c² + E0²]½
E = pc [1 + E0²/p²c²]½
Usando la expansión binomial tenemos entonces:
E = pc [1 + (½)(E0²/p²c²) + ...]
Entonces para energías cinéticas tales que la energía cinética K es mucho mayor que la masa en reposo m0c², algo que conocemos como energías ultrarelativistas (posiblemente aquí la semántica de la palabra sea desfortunada), podemos utilizar la aproximación:
E ≈ pc
A continuación se hará un breve resumen de las aproximaciones que pueden utilizarse, según sea el caso:
(1) Para K « m0c²: Cuando la energía cinética K de una partícula es suficientemente menor que la energía que corresponde a su masa en reposo, podemos utilizar la expresión clásica que nos relaciona su energía cinética K con su velocidad u:
K ≈ ½m0u²
(2) Para K ≈ m0c²: Cuando la energía cinética K de una partícula es comparable a la energía de su energía en reposo, no podemos recurrir a ninguna aproximación.
(3) Para K » m0c²: Cuando la energía cinética K de una partícula es suficientemente mayor que la energía que corresponde a su masa en reposo, podemos utilizar la aproximación ultrarelativista:
E ≈ pc
PROBLEMA: Calcúlese usando las aproximaciones aplicables el momentum en unidades de MeV/c de (a) un electrón de 30 MeV y (b) un protón de 30 MeV. Calcúlense tras esto los valores exactos sin recurrir a aproximación alguna. Considérense las energías en reposo del electrón y del protón como 0.511 MeV y 938 MeV respectivamente.
De la expresión:
γ = 1+ (K/m0c²)
podemos ver que para un electrón de 30 MeV:
γ = 1+ (30 MeV/0.511 MeV) = 58.70
En este caso la energía cinética relativista K del electrón es casi sesenta veces mayor que su energía en reposo, y no podemos utilizar la aproximación clásica entre su energía cinética y su velocidad u. Pero podemos utilizar la aproximación para altas energías:
E ≈ pc
p = E/c
p = (K + m0c²)/c
p = (30 MeV + 0.511 MeV)/c = 30.511 MeV
Por otro lado, para un protón de 30 MeV:
γ = 1+ (K/m0c²) = = 1+ (30 MeV/938 MeV) = 1.03198
Puesto que γ ≈ 1, podemos utilizar la aproximación clásica para obtener la velocidad u de la partícula:
K ≈ ½m0u²
2K/(m0c²) ≈ (u/c)²
(u/c)² ≈ 2(30 MeV)/938 MeV
u/c ≈ 0.252
y vemos que el protón se está moviendo a la cuarta parte de la velocidad de la luz.
Un valor aproximado del momentum es entonces:
p = γm0u
p = γm0c² · (u/c) /c
p = (1.03198)(938 MeV)(0.252)/c
p = 244 MeV/c
Para el electrón determinaremos ahora su velocidad u sin recurrir a ninguna aproximación:
γ = 1/√1 – u²/c² = 58.70
u = .9997097 c
Con esto:
p = γm0u = γm0c² · (u/c) /c = (58.70)(0.511 MeV)(0.9997097)/c
p = 29.987 MeV/c
Este valor compara favorablemente con el valor aproximado que habíamos obtenido de 30.511 MeV.
Procederemos de una manera similar para obtener para el protón su velocidad u sin recurrir a ninguna aproximación:
γ = 1/√1 – u²/c² = 1.03198
u = 0.247 c
Por lo tanto:
p = γm0u = γm0c² · (u/c) /c = (1.03198)(938 MeV)(0.247)/c
p = 239.1 MeV/c
Este valor está debajo del valor aproximado de 244 MeV/c en un 2% que podemos considerar un error mínimo.
PROBLEMA: Un electrón y un protón son acelerados cada uno en un acelerador de partículas a través de un potencial de 10 millones de voltios. Encontrar el momentum y la velocidad de cada una de estas partículas.
En el caso del electrón, su energía en reposo de 0.511 MeV es unas veinte veces menor que los 10 MeV de energía cinética que adquiere en el ciclotrón, con lo cual:
γ = 1+ (K/m0c²) = 1 + (10 MeV/0.511 MeV)
γ = 20.57
Puesto que γ no tiene un valor cercano a la unidad, no podemos utilizar la aproximación clásica, pero podemos utilizar la aproximación ultrarelativista:
p ≈ E/c
p ≈ (K + m0c²)/c
p ≈ (10 MeV + 0.511 MeV)/c
p ≈ 10.511 MeV/c
Una vez obtenido el momentum del electrón, podemos obtener su velocidad utilizando la definición del momentum relativista:
p = γm0u
p = γ (m0c²) u/c²
u/c = pc/γ(m0c²)
u/c = (10.511 MeV/c · c)/(20.57)(0.511 MeV)
u = 0.999974 c
En el caso del protón, su energía en reposo dada en el problema anterior como 938 MeV es unas 93 veces mayor que los 10 MeV de energía cinética que adquiere en el ciclotrón, con lo cual:
γ = 1+ (K/m0c²) = 1 + (10 MeV/938 MeV)
γ = 1.010
Teniendo un valor tan cercano a la unidad, esperamos que la aproximación clásica sea bastante buena:
K ≈ ½m0u²
½m0u² ≈ K
u²/c² ≈ 2K/(m0c²)
(u/c)² ≈ 2(10 MeV)/(938 MeV) ∼ 0.02132
u/c ≈ 0.146
u ≈ 0.146 c
El momentum puede ser calculado con la expresión relativista o con la expresión clásica.
Calculado con la expresión relativista resulta ser:
p = γm0u
p = γ (m0c²) u/c²
p = (1.010) (938 MeV) (0.146 c) / c²
p = 138 MeV/c
Y calculado con la expresión clásica que relaciona a la energía cinética K con el momentum p:
K = ½ mu² = ½ m (p/m)² = p²/2m
el momentum del protón resulta ser:
p² = 2mK
(pc)² = 2(mc²)K = 2(938 MeV) (10 MeV) = 18,760 MeV²
p = 137 MeV/c
PROBLEMA:
Determínese la intensidad del campo magnético B requerido para poder mantener en una órbita circular con un arco de radio de 2 metros un electrón con una energía de 20 MeV.
En la “Dinámica relativista”, casi al final de la misma obtuvimos una fórmula para resolver este tipo de problemas, la cual nos relaciona el momentum relativista de la partícula con la carga eléctrica, la intensidad del campo magnético B y el radio R de la órbita:
p = qBR
Tenemos que obtener el momentum relativista a partir de la energía cinética proporcionada para el electrón. En este caso vemos que:
γ = 1+ (K/m0c²) = 1 + (20 MeV/0.511 MeV)
γ = 40.14
Puesto que la energía cinética relativista K del electrón es casi 40 veces mayor que su energía en reposo, no podemos utilizar la aproximación clásica entre su energía cinética y su velocidad u.
Pero podemos utilizar la aproximación para altas energías:
E ≈ pc
p ≈ E/c
p ≈ (K + m0c²)/c
p ≈ (20 MeV + 0.511 MeV)/c ≈ 20.511 MeV/c
Teniendo el momentum relativista, podemos recurrir a la fórmula (recuérdese que hay que dividir entre la velocidad de la luz c tomada aquí como 300,000 kilómetros por segundo, y que para la carga eléctrica utilizamos simplemente 1 electrón = 1 e para cancelar la parte de la unidad correspondiente dentro de la expresión MeV):
B = p/qR
B = (20.511 MeV/c)/[(1 e) (2 metros)]
B = 0.0341 tesla
Puesto que 1 tesla es igual a 10,000 gauss, la respuesta la podemos expresar también en función de estas unidades:
B = 341 gauss
Estableceremos por completitud otra equivalencia que también es utilizada a menudo en el estudio de la física atómica y nuclear relativistas.
Se trata de lo que llamaremos unidad de masa atómica unificada simbolizada como u.
Para la definición de esta unidad, podemos recurrir al número de Avogadro que representa exactamente el número de átomos (o moléculas) que contiene un mol de una substancia (el científico italiano Amadeo Avogadro fue el primero que propuso que el volumen ocupado por un gas en un recipiente a cierta temperatura y presión mantenidas fijas es el mismo independientemente de la naturaleza del gas, de modo tal que un recipiente cerrado de unos 22.4 litros a temperatura ambiente y a una presión de una atmósfera contendrá la misma cantidad de moléculas de gas cloro que de gas oxígeno o de gas hidrógeno, aunque la masa contenida del gas variará según el gas):
NA = 6.022 141 79 · 1023 átomos (o moléculas)
Para obtener la equivalencia de una unidad u, simplemente dividimos un gramo entre el número de Avogadro:
1 u = 1 gramo / 6.022 141 79 · 1023 átomos
1 u = 1.660538783 · 10-24 gramo/átomo
Formalmente, la unidad de masa atómica unificada u es definida como la doceava porción de la masa de un átomo neutral de carbono C12, con lo cual el carbono viene teniendo una masa atómica de 12 u (en un principio, la base unitaria para mediciones atómicas era definida simplemente como la masa de un átomo de hidrógeno, por ser el primer y más sencillo elemento en la tabla periódica, pero posteriormente fue re-definida como la dieciseisava porción de la masa de un átomo de oxígeno O16, hasta llegarse a la definición actual basada en el carbono-12 adoptada en 1961 por la International Union of Pure and Applied Physics, aunque en realidad las tres definiciones son equivalentes ya que todas se reducen aproximadamente a lo mismo, la masa de un átomo de hidrógeno).
Puesto que un átomo de carbono C12 tiene una masa de 19.92 · 10-27 Kilogramo, la doceava parte de dicha masa viene siendo:
(19.92 · 10-27 Kilogramo)/12 = 1.66 · 10-27 Kilogramo
= 1.66 · 10-24 gramo ≈ 1 u
Para cálculos breves, podemos utilizar simplemente 1 u ≈ 1.66 · 10-24 gramo ≈ 1.66 · 10-27Kilogramo. Como ya se dijo, en realidad esta es simplemente la masa de un átomo de hidrógeno, aunque los formalismos de definición tiendan a obscurecer el hecho.
Relativísticamente, de acuerdo con la relación E = mc² la energía equivalente de una unidad de masa unificada es:
1 u = 931.5 MeV
PROBLEMA: Obtener el valor de una unidad de masa atómica unificada expresado en unidades MeV.
Trabajaremos en el sistema MKS. El cuadrado de la velocidad de la luz sin usar la aproximación c = 3·108 metros/segundo es:
c² = (299,792,458 metros/seg)² = 8.98755 · 1016 metros²/seg²
El valor de una unidad u expresado en joules será entonces, de acuerdo con la relación relativista E = mc²:
1 u = 1.660538783 · 10-27 Kilogramo
1 u · c² = (1.660538783 · 10-27 Kilogramo)(8.98755 · 1016 metros²/seg²)
1 u · c² = 1.4924175 · 10-10 joule
Usando el factor de conversión 1 MeV = 1.602 · 10-13 joule:
1 u · c² = (1.4924175 · 10-10 joule)/(1.602 · 10-13 joule/MeV)
1 u · c² = 931.59 MeV
La unidad u no debe ser confundida con su ya obsoleta progenitora simbolizada como amu(atomic mass unit), aunque desafortunadamente muchos libros de texto continúan utilizándola dada su similitud con la unidad u.
El concepto básico detrás de de la liberación de energía en los reactores y las bombas atómicas es la energía de enlace. La energía de enlace es la energía que se libera (se pierde) cuando el núcleo atómico de un elemento es creado a partir de sus nucleones (protones y neutrones) constituyentes.
Y es también la energía requerida para poder desensamblar el núcleo de un átomo cualquiera en sus partículas elementales constituyentes. Por lo tanto, un núcleo atómico que viene siendo un sistema de partículas nucleares ligadas o sistema ligado está a un nivel energético inferior al de las partículas constituyentes separadas. Esto lo detectamos al sumar la masa total de los nucleones separados que van a formar un átomo comparándola con la masa total del átomo ya formado; al hacer tal cosa descubriremos que la suma de los constituyentes es menor que la masa total del átomo.
La “masa ausente”, conocida como el defecto de masa, es por la relación E = mc² una medida de la energía de enlace del átomo que es liberada durante la formación de un núcleo a partir de los nucleones constituyentes. Entre mayor sea la energía de enlace por nucleón en el átomo tanto mayor será su estabilidad. Para poder calcular la energía de enlace (en MeV) de un átomo todo lo que tenemos que hacer es sumar la masa de los nucleones individuales y restar dicha masa de la masa experimentalmente medida del átomo, convirtiendo la “masa faltante” en su equivalente energético de acuerdo con la relación E = mc².
