sábado, 31 de agosto de 2013

¿Cuál es el volumen de la bola unidad de dimensión N? (30203)

Una pelota, tal y como la conocemos, es una figura (que podemos considerar como) esférica en tres dimensiones.
 Cualquier figura de este tipo cumple que su volumen depende de su radio. De hecho este volumen no es para nada desconocido, tiene una fórmula bien sabida por todos desde nuestra etapa escolar.
Si llamamos R al radio de la esfera en cuestión, el volumen de esta pelota en dimensión 3 es:
V=\cfrac{4}{3} \; \pi R^3
Si tomamos la pelota con radio igual a 1, el volumen será entonces el siguiente:
V=\cfrac{4}{3} \; \pi \approx 4,18879
¿Qué magnitud tiene este resultado? 
Pues en principio depende de la unidad de medida del radio: metros, centímetros, kilómetros…
Pero bueno, este detalle no es el que más nos interesa para este artículo.
 Lo que nos interesa saber es que esta pelota se denomina
 bola unidad en \mathbb{R}^3.
Bien, ¿y cómo es la bola unidad en dimensión 1? 
?Y en dimensión 2? 
¿Y en dimensiones mayores?
 Y puestos a preguntar, ¿cómo son sus respectivos volúmenes? 
¿Cómo cambian según cambia la dimensión? 
Vamos a intentar responder a esta preguntas.

Volumen de la bola unidad en \mathbb{R}^n


Para empezar vamos a ver qué es la bola unidad:
La bola unidad en \mathbb{R}^n es el conjunto de puntos (x_1, \ldots ,x_n)
x_1^2+ \ldots + x_n^2 \le 1

Vamos a ver exactamente qué es la bola unidad en las tres dimensiones que somos capaces de ver/imaginar:

  • Dimensión 1: La bola unidad es el conjunto de puntos x tales que x^2 \le 1, es decir, el intervalo [-1,1].

  • Dimensión 2: En este caso la bola unidad es el conjunto de puntos (x,y) tales que x^2+y^2 \le 1. 

    Estos puntos representan la circunferencia de centro (0,0) y radio 1 junto con su parte interna, esto es, el círculo de centro (0,0) y radio 1:

    Círculo unidad

  • Dimensión 3: Aquí la bola unidad es el conjunto de puntos (x,y,z) que cumplen que x^2+y^2+z^2 \le 1, o lo que es lo mismo la esfera (maciza) de centro (0,0,0) y radio 1:


    Esfera unidad (maciza)

Bien, ahora la historia sería calcular el volumen de cada una de ellas, pero claro, hay que interpretar bien la historia.
 En realidad, lo que conocemos coloquialmente como volumen sólo es aplicable a dimensión 3.
 En dimensión 1 el volumen sería la longitud y en dimensión 2 sería el área. Llamando V(n) al volumen de la bola unidad en dimensión n, obtenemos los siguientes resultados:
  • El volumen 1-dimensional de la bola unidad de dimensión 1 es V(1)=2 (la longitud del intervalo).
  • El volumen 2-dimensional de la bola unidad de dimensión 2 es V(2)=\pi (el área del círculo).
  • El volumen 3-dimensional de la bola unidad de dimensión 3 es V(3)=\frac{4}{3} \; \pi \approx 4,18879(el volumen que calculamos al principio de esta entrada).
Parece que el volumen va aumentando conforme aumenta la dimensión, hecho bastante evidente por otra parte. 
Si seguimos calculando el volumen de la bola unidad para dimensiones mayores llegamos a los siguientes valores aproximados:

  • Para N=4, V(4) \approx 4,9348.
  • Para N=5, V(5) \approx 5,26379.
  • Para N=6, V(6) \approx 5,16771…

¡Un momento!

 Para N=6 el valor aproximado del volumen es menor que para N=5…
¿No habíamos dicho que el volumen aumenta conforme aumenta la dimensión? 
Pues en realidad no es así.
Mediante cálculo en varias variables se puede encontrar una expresión que nos calcula el volumen de la bola unidad N-dimensional en función de N. 
Es la siguiente:
V(N)=\cfrac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)}
siendo \Gamma la función Gamma.
Tomemos esta fórmula como una función real de variable real.
 ¿Cómo se comporta esta función para valores grandes de N?
 Pues…de manera sorprendente, dada nuestra intuición acerca del comportamiento del volumen de la bola unidad N-dimensional. 
Les dejo una gráfica de la función V(x) para valores de x entre 1 y 30:

Gráfica de V(x)

¡¡El volumen de la bola unidad N-dimensional tiende a cero cuando N tiende a infinito!! 
Es decir, para valores grandes de N, el volumen N-dimensional de la bola unidad en dicha dimensión es muy muy pequeño.
 De hecho la función V(x) es creciente hasta el punto x \approx 5,25695, y a partir de ahí decrece.
Teniendo en cuenta que uno imagina que conforme la dimensión es mayor la bola unidad es cada vez más grande, este resultado choca con nuestra intuición.
 Y más aún si tenemos en cuenta que la bola unidad N-dimensional contiene a todas las bolas unidad de dimensión menor que N.
¿Por qué entonces el volumen es tan pequeño para dimensiones grandes? 
Para responder a esta pregunta tenemos que tener en cuenta que en cada caso hablamos de volumen N-dimensional, algo así como la cantidad de puntos de \mathbb{R}^N que pertenecen a la bola unidad de dimensión N. 
Teniendo en cuenta que el hecho de que más de dos de las coordenadas de un punto sean mayores que \textstyle{\frac{1}{\sqrt{2}}} implica que el punto está fuera de la bola unidad, es más o menos claro que conforme aumentamos el número de coordenadas del punto (es decir, aumentamos la dimensión) será cada vez más complicado encontrar puntos con una o ninguna coordenada mayor que dicho número.
 Vamos, que la probabilidad de encontrar puntos así será cada vez más pequeña, con lo que el volumen también será cada vez menor, acercándose a cero cuando la dimensión tiende a infinito.
Que curiosas, a la par que interesantes, son las dimensiones superiores…
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