martes, 20 de agosto de 2013

Integrales impropias (29981)

El objetivo de esta entrada es extender la idea de integral a situaciones donde el intervalo de integración no es acotado o la función a integrar no es acotada. 
Se suele simbolizar por \mathcal{R}([a,b]) al conjunto de las funciones integrables Riemann en el intervalo [a,b].

1. Integrales impropias de primera especie

Se llaman así las integrales de funciones extendidas a intervalos no acotados.
Definición 1. Sea f: [\,a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} una función tal que f \in \mathcal{R}([a,A]) \;\;\forall A>a. 
 Se dice que la integral impropia de primera especie \displaystyle{\int_a^\infty f(x)\,dx} converge si existe el límite
\displaystyle{\int_a^\infty f(x)\,dx := \lim_{A \rightarrow \infty} \int_a^A f(x)\,dx.}
Ejemplo 1.  \displaystyle{\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} = \lim_{A \rightarrow \infty} \int_0^A \frac{dx}{1+x^2} = \lim_{A \rightarrow \infty} ( \arctan A - \arctan 1) = \frac{\pi}{2}\,,}

y por lo tanto la integral converge.

Ejemplo 2.  \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{x} = \lim_{A \rightarrow \infty} \int_1^A \frac{dx}{x} = \lim_{A \rightarrow \infty} (\log A - \log 1) = \infty,}

y por lo tanto la integral diverge.

Ejemplo 3.  \displaystyle{ \int_0^\infty \sin x \,dx = \lim_{A \rightarrow \infty} \int_0^A \sin x \,dx = \lim_{A \rightarrow \infty} (\cos 0 - \cos A),}

y como este límite no existe, la integral no converge ni diverge.

Ejercicio 1. 
 Estudiar la convergencia de la integral impropia \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}}\;\;  según los valores del parámetro p \in \mathbb{R}, y calcular su valor cuando sea convergente.
Observación 1.
  Sea f: [\,a, \infty) \rightarrow \mathbb{R}\;\; y sea A>a.\;\; La integral impropia \displaystyle{\int_a^\infty f(x)\,dx}converge si y sólo si la integral impropia \displaystyle{ \int_A^\infty f(x)\,dx} converge.
A continuación se establecen dos criterios de comparación, que proporcionan condiciones para la convergencia de la integral impropia de una función no negativa.
Proposición 1.
 (Criterio de comparación directa)  Sean f,g:[\,a,\infty) \rightarrow \mathbb{R} dos funciones tales que 0 \leq f(x) \leq g(x) \;\; \forall x \geq a.
  1. Si \displaystyle{\int_a^\infty g(x)\,dx}  converge entonces \displaystyle{\int_a^\infty f(x)\,dx}  converge.
  2. Si \displaystyle{\int_a^\infty f(x)\,dx}  diverge entonces \displaystyle{\int_a^\infty g(x)\,dx}  diverge.
Ejercicio 2.  
Estudiar la convergencia de la integral impropia \displaystyle{\int_2^\infty \frac{dx}{x^3-x^2-1}}.
Ejemplo 4.  
La integral \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^3}}}  es convergente, puesto que \displaystyle{0 \leq \frac{1}{\sqrt{1+x^3}} \leq \frac{1}{x^{3/2}}\,,}   
y la integral \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{x^{3/2}}}  converge según el ejercicio 1.
Ejemplo 5.  
La integral de Euler–Poisson \displaystyle{\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx}   converge, porque, de acuerdo con la observación 1, esta integral tiene el mismo carácter que la integral \displaystyle{\int_1^\infty e^{-x^2}\,dx.}  
Ahora se tiene 0 \leq e^{-x^2} \leq e^{-x}\;\;\forall x \geq 1,   y es obvio que la integral \displaystyle{\int_1^\infty e^{-x}\,dx}   converge.
Ejercicio 3.
  Estudiar la convergencia de la integral impropia \displaystyle{\int_1^\infty \frac{dx}{x-e^{-x}}}\,.
Proposición 2. 
(Criterio de comparación asintótica) 
 Sean f,g:[\,a,\infty) \rightarrow \mathbb{R}   funciones positivas y supongamos que existe el límite \displaystyle{L=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}\,.}
  1. Si 0 < L < \infty entonces \displaystyle{\int_a^\infty f(x)\,dx \sim \int_a^\infty g(x)\,dx.}
  2. Si L=0 y \displaystyle{\int_a^\infty g(x)\,dx < \infty} entonces \displaystyle{\int_a^\infty f(x)\,dx < \infty.}
Observación 2.  
Las integrales impropias de primera especie del tipo \displaystyle{\int_{-\infty}^b f(x)\,dx}  se definen de forma 
análoga a las del tipo anterior, es decir,
\displaystyle{\int_{-\infty}^b f(x)\,dx := \lim_{B \rightarrow \infty} \int_{-B}^b f(x)\,dx.}
Observación 3.  
Otra forma de integral impropia de primera especie es aquella del tipo \displaystyle{\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx.}   
Se dice que esta integral es convergente si existe a \in \mathbb{R} de modo que ambas integrales 
impropias, \displaystyle{\int_{-\infty}^a f(x)\,dx,} y \displaystyle{\int_{a}^\infty f(x)\,dx} son convergentes, y en tal caso se define
\displaystyle{\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx := \int_{-\infty}^a f(x)\,dx + \int_{a}^\infty f(x)\,dx}

2. Integrales impropias de segunda especie

Se llaman así las integrales de funciones no acotadas extendidas a intervalos acotados.
Definición 2. 
Sea f: (a, b] \rightarrow \mathbb{R} una función tal que f \in \mathcal{R}([a+\varepsilon,A]) \;\;\forall \varepsilon>0. 
 Se dice que la integral impropia de segunda especie \displaystyle{\int_{a+}^b f(x)\,dx} converge si existe el límite
\displaystyle{\int_{a+}^b f(x)\,dx := \lim_{\varepsilon \rightarrow 0+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx.}
Análogamente, si f: [a, b) \rightarrow \mathbb{R} es una función con f \in \mathcal{R}([a,b-\varepsilon ]) \;\;\forall \varepsilon>0,  se define
\displaystyle{\int_{a}^{b-} f(x)\,dx := \lim_{\varepsilon \rightarrow 0+} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x)\,dx.}
Ejercicio 4.
  Estudiar la convergencia de la integral impropia \displaystyle{\int_0^{1-} \frac{dx}{x^p}}\;\;  según los valores del parámetro p \in \mathbb{R}, y calcular su valor cuando sea convergente.
Ejercicio 5. 
 Estudiar la convergencia de la integral impropia \displaystyle{\int_0^{1-} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\,.}
Ejercicio 6. 
 Formular versiones adecuadas del criterio de comparación directa y del criterio de comparación asintótica para integrales impropias de segunda especie.
Ejercicio 7. 
 Estudiar la convergencia de la integral elíptica \displaystyle{\int_0^{1-} \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\,.}

3. El criterio de la serie

El siguiente resultado pone de manifiesto la íntima conexión que existe entre las integrales impropias de primera especie y las series infinitas de números reales.
Proposición 3.
 (Criterio de la serie)  Supongamos que f:[1,\infty) \rightarrow \mathbb{R} es una función positiva y 
decreciente, sea n \in \mathbb{N} y sea a_n=f(n).   La integral impropia \displaystyle{\int_1^\infty f(x)\,dx}converge si y 
sólo si la serie infinita \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n} converge.
Ejercicio 8. 
Probar la convergencia de la integral impropia \displaystyle{\int_1^\infty \frac{e^x}{x^x}\,dx.}
Ejercicio 9.
 Probar la convergencia de la serie infinita \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \cdot \sin \frac{\pi}{n^2}}

4. Convergencia absoluta y condicional

Los criterios considerados hasta ahora son aplicables solamente a funciones no negativas. Las integrales impropias de funciones generales son harina de otro costal.
 Si \displaystyle{\int_a^\infty} f(x)\,dx es la integral impropia de una función cualquiera, también se puede considerar la integral impropia \displaystyle{\int_a^\infty} |f(x)|\,dx, cuyo integrando es una función no negativa, de modo que, a pesar de perder información sobre la integral original, los criterios anteriores para funciones no negativas pueden ser aplicados.
Definición 3. 
Se dice que una integral impropia \displaystyle{\int_a^\infty f(x) \,dx} converge absolutamente si la integral 
impropia \displaystyle{\int_a^\infty |f(x)|\,dx} es convergente.
Proposición 4.  
 Toda integral impropia absolutamente convergente es convergente.
Definición 4.
 Se dice que una integral impropia es condicionalmente convergente si converge pero no absolutamente.
Ejemplo 6.  
La integral impropia \displaystyle{\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx}   converge condicionalmente.

5. Las funciones gamma y beta de Euler

La función gamma es una de la funciones más importantes del Análisis. 
Esta función se define mediante una integral impropia de primera especie que depende de un parámetro.
Definición 5. 
 (La función gamma de Euler)    \displaystyle{\Gamma (p) := \int_0^\infty x^{p-1} e^{-x}dx}\;\;\; \forall p>0.
Proposición 5.
 (Algunas propiedades de la función gamma)
  1. \Gamma(1)=1,
  2. \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p)    \forall p>0,
  3.   \Gamma(n)=(n-1)!  \forall n \in \mathbb{N}.
No menos importante es la función beta. Esta función se define mediante una integral impropia de segunda especie que depende de dos parámetros.
Definición 6. 
 (La función beta de Euler)    \displaystyle{\beta (p,q) := \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1}dx}\;\;\; \forall p,q>0.
La siguiente identidad revela una estrecha relación entre ambas integrales eulerianas.
Proposición 6.
  \displaystyle{\beta(p.q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\;\;\; \forall p,q>0.}
Ejercicio 10.
Calcular \displaystyle{\beta(\frac{1}{2},\frac{1}{2})}  y deducir que  \displaystyle{\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}.}
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