martes, 20 de agosto de 2013

Las integrales eulerianas (29980)

La función gamma de Euler es una de la funciones más importantes del Análisis.
 Esta función se define mediante una integral impropia que depende de un parámetro p>0.
\displaystyle{\Gamma (p) := \int_0^\infty x^{p-1} e^{-x}dx}.
La función beta de Euler no es menos importante y también se define mediante otra integral impropia que depende de dos parámetros p, q >0.
\displaystyle{\beta (p,q) := \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1}dx}.
La siguiente identidad revela una estrecha relación entre ambas integrales eulerianas.
\displaystyle{\beta(p.q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.}
El cambio de variable x = \sin \theta arroja una expresión alternativa para la función beta.
\displaystyle{\beta(p,q)= 2 \int_0^{\pi/2} \sin^{2p-1} \theta \cos^{2q-1} \theta d \theta.}
Al particularizar esta expresión cuando \displaystyle{p=q=\frac{1}{2}} resulta que \displaystyle{\beta(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\pi,} y al combinar este resultado con la relación entre ambas integrales eulerianas se obtiene \displaystyle{\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}.}
Volviendo al post anterior, la integral gaussiana se puede calcular fácilmente a partir de este valor de la función Gamma. 
El cambio de variable x=y^{1/2}\; facilita el cálculo.
\displaystyle{\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = 2 \int_0^\infty e^{-x^2}dx = \int_0^\infty y^{-1/2}e^{-y}dy = \Gamma(\frac{1}{2})= \sqrt{\pi}.}
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