La sucesión de Vauban se define de manera recurrente:
a(n)=0 si n≤0,
a(1)=1,a(n)=3a(n-1)+6a(n-2)+6a(n-3)+6a(n-4)+6a(n-5), si n≥2.
Así, sustituyendo los valores para n≥0, los 27 primeros términos de la sucesión son:
0, 1, 3, 15, 69, 321, 1.491, 6.921, 32.139, 149.229, 692.919, 3.217.437, 14.939.559, 69.369.021, 322.101.927, 1.495.619.397, 6.944.625.855, 32.246.056.989, 149.728.468.167, 695.235.829.509, 3.228.196.110.975, 14.989.518.216.045, 69.600.993.441.975, 323.179.052.074.101, 1.500.620.817.813.327, 6.967.849.012.498.557, 32.353.889.326.768.359, etc.
Su nombre se debe al ingeniero militar francés
Sébastien Le Prestre, Marqués de Vauban (1633-1707), que en su tratado aritmético La cochonnerie, ou calcul estimatif pour connaître jusqu’où peut aller la production d’une truie pendant dix ans de temps, expone la idea de que una sola cerda –debido a su gran fertilidad y en sólo unas pocas generaciones–… ¡podría alimentar a toda Europa!
Vamos a rehacer el cáculo que realiza [ver: Pierre de la Harpe, Vauban pour les cochons comme Fibonacci pour les lapins, Images des Mathématiques, CNRS, 2013]:
Vauban estima –teniendo en cuenta posibles enfermedades, accidentes, etc.– que en cada parto nacen 6 cerdos –3 hembras y 3 machos–. En su modelo, una cerda pare por primera vez en su segundo año de vida y después pare dos veces al año durante cuatro años seguidos hasta el séptimo año en el que se vuelve estéril.
- Así el primer año, tenemos una cerda, llamémosla Peggy.
- El segundo año –tras la camada de 6 cerdos de Peggy– hay 3 nuevas cerdas.
- El tercer año, Peggy tiene dos partos –12 cochinillos, de los cuales la mitad son hembras– y una camada de cada una de sus hijas –3×6animales, de los cuales la mitad son cochinillas–, es decir, en total habrá15 nuevas cerdas.
- El cuarto año habrá
(1×2 + 3×2 + 15×1) × 3 = 69
nuevas cerditas. Aquí, 1×2 significa que Peggy tiene dos partos, 3×2 que cada una de sus tres primeras hijas tiene también dos partos y 15×1 que cada una de las nietas de Peggy. Y se multiplica todo por 3, porque cada camada contiene 3 hembras.
- El quinto año habrá
(1×2 + 3×2 + 15×2 + 69×1) × 3 = 321
nuevas cerditas.
- El sexto año habrá
(1×2 + 3×2 + 15×2 + 69×2 + 321×1) × 3= 1.491
nuevas cochinillas.
Después, Peggy se vuelve estéril –y cada año, una nueva generación se volverá estéril–, de manera que cada año, en el cálculo de nuevas cerdas nacidas, sólo habrá cinco términos a sumar; por ejemplo, el séptimo año habrá:
(3×2 + 15×2 + 69×2 + 321×2 + 1.491×1) × 3 = 6.921
nuevas cerdas. Calculando de esta manera, los 11 primeros años habrá nuevas “Peggys” en estas proporciones:
1, 3, 15, 69, 321, 1.491, 6.921, 32.139, 149.229, 692.919 y 3.217.437.
Tras 11 años, Peggy tiene una descendencia de más de 6 millones de cerdos –contando los machos de las camadas–.
Si llamamos a(n) al número de cerdas nacidas durante el año n, entonces los números de la sucesión a(n) son precisamente los indicados al principio de esta entrada.
Como se ha visto en el listado de los 27 primeros números de la sucesión,a(n) crece muy deprisa, de hecho, su crecimiento es exponencial. De hecho, cuando n tiende a infinito, a(n+1)/a(n) converge a una constante:
c ≈ 4,643310908249259.
