Al contrario de lo que la mayoría de la gente cree, las matemáticas no se ocupan solamente de cálculos tediosos y complicados.
La práctica de las matemáticas consiste, fundamentalmente, en pensar y desarrollar ideas.
Estas ideas, mucho más a menudo de lo que imagina el lego, son realmente sencillas, y no requieren de ninguna formación previa para ser comprendidas e incluso aplicadas.
Curiosamente, las ideas más sencillas de la historia de las matemáticas han dado frutos enormes.
En el presente artículo resolveremos un problema aparentemente colosal simplemente pensando, y la única operación matemática aparecerá en todo el texto será una simple resta.
Para poder hacerlo más llevadero, resolveremos el problema en un par de etapas.
En matemáticas, el papel de los puntos de descanso entre etapas lo hacen los teoremas. Son pequeñas ideas en las que vale la pena detenerse a pensar y afianzar, pues luego nos ayudarán a enfrentarnos con ideas más complicadas.
Como punto de partida, empezaremos con una idea muy sencilla que la historia ha dado en llamar teorema de Bolzano.
El teorema de Bolzano, también llamado teorema de los valores intermedios, es conocido entre los estudiantes de secundaria por ser especialmente sencillo.
Incluso un servidor ha llegado a escuchar, a modo de burla, la frase: “¡eres más simple que el teorema de Bolzano!”.
Dicho teorema, explicado con un símil futbolístico, viene a decir que no se puede ir de portería a portería sin cruzar la línea de medio campo al menos una vez.
¿Sencillo, verdad?
En términos más matemáticos diríamos algo así como que si una función es continua en un intervalo (a,b) (esto es, si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel entre a y b), en dicho intervalo la función debe tomar, al menos, todos los valores entre f(a) y f(b) (la zona roja del diagrama).
Tres posibles funciones continuas que parten y terminan en puntos comunes. Todas tienen que pasar, obligatoriamente, por la zona roja.
Adicionalmente, si f(a) y f(b) tienen distinto signo, el 0 deberá de estar contenido en la “zona roja”, y por tanto la función tendrá al menos una raíz entre a y b.
Como bien sabemos los que nos dedicamos a las matemáticas, las ideas más simples suelen ser también las más potentes.
Sobre la superficie de la Tierra, en cualquier momento, hay dos puntos diametralmente opuestos (…) que tienen exactamente la misma temperatura.
¿Podrías demostrarlo?
La solución es sorprendentemente simple, y no requiere de apenas cálculos.
Para empezar, tomemos dos puntos diametralmente opuestos en la superficie de la Tierra.
Por ejemplo, uno en España y otro en Nueva Zelanda:
Para medir la diferencia de temperaturas entre un punto y su antípoda, podemos construir una función sencilla con ésta estructura:
Temperatura(punto) – Temperatura(punto opuesto)
En los puntos que hemos dibujado en el mapa, esta función será positiva si en España hace más calor que en Nueva Zelanda, y viceversa.
Si la temperatura fuese igual en un punto y su antípoda, la función valdría cero.
Pues bien, el teorema de Bolzano viene en nuestro auxilio: hagamos viajar a nuestro punto hasta las antípodas, y midamos la diferencia de temperaturas entre dicho punto móvil y sus antípodas, también móviles,durante el viaje, en todo momento.
Es decir, construyamos una función que evalúe la diferencia de temperaturas a lo largo del camino.
Para cuando hayamos llegado a las antípodas[1], la diferencia de temperaturas habrá cambiado de signo, pues lo que antes era nuestro punto de referencia ahora será el punto opuesto, y viceversa.
Como la temperatura a lo largo de la trayectoria debe ser una función continua, también lo será una resta de temperaturas y, según el teorema de Bolzano debe haber al menos un cero… y por tanto hay al menos un punto en la trayectoria con temperatura igual a la de sus antípodas.
Sorprendentemente sencillo, ¿no es cierto?
¡Pues aún hay más!
Notemos que hay muchas trayectorias posibles para viajar a las antípodas.
De hecho, hay infinitas, y en cada una de ellas, según acabamos de ver, debe haber al menos un punto con la temperatura igual a la de su antípoda.
Por lo tanto, ¡habrá infinidad de puntos sobre la superficie terrestre con temperaturas iguales a las de sus antípodas!
Varios posibles caminos hacia las antípodas.
En cada una, tiene que haber al menos una solución a nuestro problema
La intuición matemática nos indicará a estas alturas que, seguramente, dichos puntos se agrupen a lo largo de curvas.
Para visualizar algunas de estas curvas, se ha creado un generador de funciones continuas sobre una esfera[1] con ayuda de Matlab[2].
Analizándolas numéricamente se pueden trazar dichas curvas.
En los siguientes gráficos se representan un par de éstas funciones en escala de colores (como es habitual, más rojo es más caliente, más azul es más frío).
Además, se representan con líneas rojas los puntos con temperatura igual a la de sus antípodas.
Efectivamente, se agrupan en curvas con curiosas formas:
Es interesante notar que en los ejemplos anteriores es imposible ir de ningún punto al opuesto sin cruzar al menos una vez una línea roja, como era de esperar.
Ésta es una de las muchas aplicaciones, bellísimas y a menudo inesperadas, de una de las ideas más sencillas de las matemáticas.
Hay muchas más, naturalmente, pero por hoy ya hemos tenido bastante.
[1] Aunque visualicemos la curva como la trayectoria de un viaje, realmente se trata de un ente ideal.
Podemos (y de hecho debemos) suponer que el viaje se hace a una enorme velocidad, de manera que los cambios temporales de la temperatura no entran en juego.
O equivalentemente, podemos pensar que la temperatura permanece constante.
[2] Tan sólo he impuesto que sean continuas y periódicas en la coordenada longitud geográfica. No he entrado en consideraciones climatológicas.
[3] Si algún lector entusiasta quiere hacerse con el código, no dude en pedírmelo. Se lo suministraré con mucho gusto.
