miércoles, 27 de noviembre de 2013

¿Cuántos números reales hay?

Numeros reales

Intuitivamente podríamos aventurar que hay más números reales que números naturales, ya que todo número natural es a su vez real y existen, además, números reales que no son naturales. 
Nos damos cuenta de que este argumento es bastante pobre cuando vemos que podemos usarlo de la misma forma con números enteros y números naturales y, sin embargo, estos dos conjuntos tienen los mismos elementos, ya que podemos emparejar estos números de la siguiente forma:
  • Asignamos a cada número entero positivo n el número natural par n-ésimo, es decir, 2n. Por ejemplo al número 7 le asignaríamos el 14, al 23 el 46, etc.
  • Emparejamos cada número entero negativo -n con el número natural impar
    (n-1)-ésimo, o lo que es lo mismo, el número 2n+1. Según esta norma al entero -5 le asignaríamos el 11, al -10 el 21, etc.
  • Y por último, sólo queda un número sin emparejar, el 0, al que vamos a asignar el 1, que aún no habíamos usado para nada.
La notación anterior puede resultar un poco confusa, pero lo que hemos hecho no es otra cosa que ordenar los números enteros en una lista, emparejando cada número natural con un número entero:
\begin{array}{ccc} 1&\rightarrow &0 \\ 2&\rightarrow &1 \\ 3&\rightarrow & -1 \\ 4&\rightarrow &2 \\ 5&\rightarrow &-2\\&\vdots & \end{array}
Este es precisamente el truco que vamos a usar para demostrar que, efectivamente, hay más números reales que naturales. 
Fijémonos únicamente en el intervalo real (0,1), vamos a ver si conseguimos poner todos esos números en una lista de la misma forma que hicimos con los enteros:
\begin{array}{ccc} 1&\rightarrow &0,x_{11}x_{12}x_{13}x_{14}\cdots \\ 2&\rightarrow &0,x_{21}x_{22}x_{23}x_{24}\cdots \\ 3&\rightarrow & 0,x_{31}x_{32}x_{33}x_{34}\cdots \\ 4&\rightarrow & 0,x_{41}x_{42}x_{43}x_{44}\cdots \\ 5&\rightarrow &0,x_{51}x_{52}x_{53}x_{54}\cdots\\&\vdots & \end{array}
La pregunta que queremos responder es, ¿realmente esa lista contiene todos los números del intervalo (0,1)? Vamos a ver que no de la siguiente manera.
 Escogemos el número formado por todos los elementos de la diagonal de esa lista:
0,x_{11}x_{22}x_{33}\cdots
Ahora elegimos otro cualquiera cambiando todos los dígitos, es decir:
0,y_{1}y_2y_3\cdots\text{ con }x_{ii}\neq y_i
por último vamos a ver que este último número no puede estar en la lista, ya que si estuviera, por ejemplo, en la segunda posición, coincidiría x_{2} con y_2, y hemos dicho que estos son distintos, si estuviera en la octava posición coincidiría x_{88} con y_8, pero también hemos dicho que son distintos, en general, si estuviera en la i-ésima posición, serían x_{ii}=y_i y esto, por definición, no es posible.
En definitiva, hemos demostrado que si intentamos ordenar los números reales pertenecientes al intervalo (0,1) en una lista, siempre va a faltar, al menos, un número. 
Así que hemos encontrado un subconjunto de los números reales más grande que el conjunto de los números naturales.
 Por tanto los reales tendrán que ser más que los naturales.
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