miércoles, 27 de noviembre de 2013

¿Se puede construir una caja con todas sus caras distintas?

Vamos a realizar un pequeño “experimento”. 
Echa un vistazo por tu casa, ahora mismo si quieres, y busca una caja que tenga todas sus caras distintas. 
No, no te vale una caja de zapatos, ya que sus caras son (habitualmente) iguales por parejas. 
¿Encuentras alguna?
Posiblemente no, ya que normalmente las cajas que tenemos a mano suelen tener todas forma de cuboide (la de zapatos). 
Aunque bueno, puede que alguno de vosotros tenga por ahí alguna con una forma extraña que nos pueda servir como ejemplo de caja con todas sus caras distintas, ya que en realidad sí pueden encontrarse cajas con esta característica. 
Por ejemplo, podemos tomar un cuboide y cortarle un trocito de la siguiente forma:
Prisma1 
Evidentemente, cuando hablamos de “caja” en este contexto queremos decir poliedro (es decir, una figura geométrica en tres dimensiones cuyas caras son planas (polígonos) y el volumen interior es finito) convexo (es decir, que cumple que todo segmento que une dos puntos del poliedro está contenido en el interior del propio poliedro).
 Pero en lo relativo a que sus caras sean todas distintas vamos a afinar un poco más. Hemos visto que hay poliedros que tienen todas sus caras distintas, pero ¿habrá poliedros cuyas caras sean todas polígonos con un número distinto de lados?
 Es decir, buscamos un poliedro donde no se repita ningún polígono en lo que a número de lados se refiere: que no haya dos o más triángulos, ni dos o más pentágonos, etc.
 ¿Podremos encontrar ahora algún poliedro con esta característica?
Antes de responder intentad que no os influya la idea de regularidad poliédrica que solemos tener en la cabeza (lo que comenté antes de que habitualmente las cajas que tenemos cerca son esencialmente iguales) y pensad en la tremenda variedad que podemos encontrar en el mundo de los poliedros, y también en la barbaridad de polígonos que pueden hacer de cara de un poliedro…
…¿lo han pensado ya? Bien, pues ahí va la respuesta: 
no se puede encontrar ningún poliedro cuyas caras sean todas polígonos con números distintos de lados. 
¿ Lo creen? ¿Así, sin más? ¿Tan fácil ha sido? 
 quizás sería necesaria una demostración, ¿verdad?
Supongamos que tenemos un poliedro convexo P que tiene un número de caras igual a C.
Vamos a llamar R a la cantidad de números naturales i para los cuales el poliedro P tiene al menos una cara con i aristas.
 Por ejemplo, un cubo tiene R=1, ya que solamente hay un número natural para el cual el cubo tiene caras con esa cantidad de aristas: el 4.
 Y llamemos ahora K al número de aristas que tiene la cara de P con más aristas. 
En el cubo tendremos que K=4, ya que ésa es la mayor cantidad de aristas que tiene una cara de un cubo.
Prisma 2 
Veamos otro ejemplo para aclarar un poco más el asunto. 
Si P es el prisma de base hexagonal que podemos ver a la derecha, se tiene que R=2, ya que hay dos números naturales para los cuales este prisma tiene al menos una cara con esas cantidades de aristas: el 4 y el 6. 
Por otro lado, K=6 en este prisma, que es el mayor número de aristas que tiene una cara del mismo.
Bien, aclarado esto vamos a jugar un poco con estos números. 
Evidentemente P tiene al menos una cara con K aristas (ya que K era el número máximo de aristas que tenía una cara de P). Pero cada arista de dicha cara es también arista de otra cara de P, lo que nos da Kcaras más. 
Por tanto, el número de caras de P es, al menos, K+1 (la que tiene K aristas más las K caras correspondientes a dichas aristas). 
Con esto llegamos a la primera expresión interesante:
C \geq K+1

Por otra parte, las caras de P podrán tener 3 aristas (no pueden tener menos, no serían polígonos), ó 4 aristas, ó 5,…,ó K (que era el número máximo de aristas de una cara de P). 
Si todas las caras tuvieran un número distinto de lados, todos esos números serían alguno del conjunto \{3,4,5, \ldots ,K \}, conjunto en el que hay K-2 números.
 Pero hemos dicho antes queR es la cantidad de números i para los cuales hay una cara con i aristas. 
Por tanto R no puede ser mayor que K-2. Y esto nos da una segunda relación
R \leq K-2

que vamos a escribir así:
K \geq R+2

Ya casi hemos terminado. Tenemos estas dos relaciones:
\begin{matrix} C \geq K+1 \\ K \geq R+2 \end{matrix}

De ellas obtenemos lo siguiente:
C \geq K+1 \geq R+2+1=R+3

Es decir, debe ser C \geq R+3.
Pero, y aquí está la clave, pensemos en cómo sería todo esto si nuestro poliedro inicial tuviera todas sus caras con un número distinto de lados.
 Hemos dicho que C es su número de caras y que R es la cantidad de “números de lados distintos”, es decir, de nuevo el número de caras (recordemos que estamos suponiendo que todas las caras tienen números de lados distintos).
 Esto significa que en un poliedro como el nuestro debería ser C=R, expresión que entra en contradicción con la obtenida hace unos instantes, C \geq R+3.
La conclusión de todo esto es que, como comentamos antes, no hay poliedros convexos en los que todas sus caras tengan un número distinto de lados.
 Por tanto, señores virtuosos de la papiroflexia, ni se molesten en intentar construir una caja tan rara porque no podràn. 
Parece que por mucho “desorden” que tenga un poliedro en lo referido al número de lados de sus caras, este “desorden” nunca será “completo”, hecho que, por otra parte, seguro que más de uno considera inquietante…
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