alquimiayciencias: La expresión génica vista por un físico II: Introducción al tratamiento estocástico

Para solucionar el problema al que habíamos llegado se introduce el cálculo de probabilidades de sucesos aleatorios en el enfoque estocástico.

Empecemos desde abajo.

Estadística para andar por casa

Todo lo que vamos a necesitar en esta entrada girará en torno a lo siguiente:

Se define la probabilidad de que ocurra un suceso como la división del número de resultados favorables entre el número total de resultados posibles.

Para entender cómo va esto, empecemos considerando el lanzamiento de un dado. El número de resultados posibles queda claro que es 6, mientras que el número de resultados favorables dependerá del suceso que evaluemos.

Así, la probabilidad de que al tirar el dado salga un número en concreto (sólo un resultado favorable) es siempre igual a 1/6, la probabilidad de obtener un número impar (tres resultados favorables) es de 3/6, o la de obtener un número mayor o igual a tres es 4/6.

Del mismo modo, la probabilidad de que al tirar no nos salga cuatro es igual a (1-1/6)=5/6.

¿Qué pasaría si tiramos el dado dos veces? Bueno, ahora el número de resultados posibles aumenta hasta 36, ya que para cada uno de los seis resultados del primer lanzamiento hay otros seis resultados del segundo lanzamiento $6\times 6=6^2=36$ .

Por tanto la probabilidad de que salgan dos cincos a la vez es 1/36, la misma que de que salga primero un cuatro y luego un uno, porque sólo hay un resultado favorable.

Si lanzamos el dado veces nos encontraremos que el cálculo de probabilidades se vuelve algo más engorroso. Sin embargo hay un importante resultado matemático que simplifica los cálculos:

La probabilidad de que ocurran n sucesos, representados como $A_n$ , es igual a la multiplicación de sus probabilidades: $P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n)$ .

Así, por ejemplo, la probabilidad de sacar un número cualquiera cuatro veces seguidas se calcula como: $\frac{6}{6}\frac{1}{6}\frac{1}{6}\frac{1}{6}=\frac{1}{216}$ .

En el caso particular en que todas las probabilidades son iguales, se tiene:

$P(n[sucesos])=P(A)^n$

En vez de dados, lancemos moléculas

Calcular probabilidades para dados es muy fácil, ¿pero cómo podemos saber cuál es la probabilidad de que una molécula choque con otra para que se produzca una reacción?

Lo que vamos a presentar a partir de este momento se corresponde con el modelo de simulación estocástico para reacciones químicas acopladas propuesto por Daniel T. Gillespie allá por 1977.

Exact stochastic simulation of coupled chemical reactions

Gillespie demostró que la probabilidad media de que una serie de moléculas choquen y reaccionen entre sí de acuerdo a la reacción en un intervalo de tiempo diferencial (dt) es:

$v_\mu dt$

Donde $v_\mu$ representa la velocidad de reacción. Para digerir este resultado podemos pasar a un ejemplo con números que nos clarifique la situación.

Ejemplo:

Un valor $v_\mu= 300$ significa que el promedio de moléculas que reaccionarán en un segundo es 300, así que en un intervalo de tiempo Δt = 0,01 es esperable que reaccionen $v_\mu\Delta t = 3$ moléculas.

Si el intervalo de tiempo se hace tan pequeño que pueda considerarse diferencial, obtenemos que esperamosque reaccionen $v_\mu dt$ moléculas.

Llegados a este punto es necesario resaltar lo más importante de lo que se ha dicho hasta ahora: $v_\mu dt$ es el número de moléculas que esperamos que reaccionen, pero desde luego en todos los intervalos de tiempo no será así. A veces serán algunas más y a veces algunas menos.

El error en los modelos deterministas es dar por hecho que en todo intervalo reaccionan $v_\mu dt$ moléculas.

Aleatoriedad en la expresión de un gen

Recordemos el modelo de expresión génica, con sus correspondientes expresiones para la velocidad de reacción:

$ADN \xrightarrow[]{x} ARN_m$

$ARN_m \xrightarrow[]{k} ARN_m + P$

$ARN_m \xrightarrow[]{\delta_m} \emptyset$

$P \xrightarrow[]{\delta_p} \emptyset$

Con las correspondientes velocidades:

$v_1=s$

$v_2=k\left[ARN_m\right]$

$v_3=\delta_m\left[ARN_m\right]$

$v_4=\delta_p\left[P\right]$

Necesitamos expresar la función que indica la probabilidad de que se produzca el siguiente suceso: reacción concreta $\mu$ (indicando $\mu=1,2,3,4$ la reacción correspondiente) después de que transcurra un tiempo $\tau$ sin que haya habido ningún tipo de reacción.

Este suceso se puede descomponer en dos requisitos:

1.- Se produce una reacción cualquiera tras un tiempo $\tau$ sin reacciones.

Después de ver cómo calcular la probabilidad de que se produzca una reacción concreta, nos preguntamos

¿cuál es la probabilidad si no nos importa que reacción se produzca?

La respuesta es que, para que se produzca una reacción cualquiera, simplemente sumamos las probabilidades de cada reacción individual. Si llamamos $v_0$ a la suma de las velocidades de todas las reacciones:

$v_0=v_1+v_2+v_3+v_4$

tenemos que la probabilidad de una reacción cualquiera es:

$P(cualquiera)=v_o dt$

Necesitamos expresar ahora la probabilidad de que no haya reacción en el intervalo $\tau$ .

Para hacer esto dividimos el intervalo $\tau$ en muchos intervalos pequeños de tiempo de duración $\Delta t$ (con lo que tendremos en total $\tau/\Delta t$ intervalos).

La probabilidad de que en el intervalo pequeño no haya reacción es:

$P(no \quad reaccion \quad en \quad \Delta t)=(1-v_o \Delta t)$

La probabilidad de que no haya reacción en ninguno de los intervalos es, según hemos visto previamente, la probabilidad de un intervalo elevada a el número total de intervalos. Si tomamos el límite para $\Delta\rightarrow 0$ .

$P(no \quad reaccion \quad en \quad \Delta t)=lim_{\Delta t\rightarrow 0}(1-v_o \Delta t)^{\frac{\tau}{\Delta t}}$

De acuerdo a los apuntes de matemáticas de bachillerato, el resultado del límite es:

$P(no \quad reaccion \quad en \quad \Delta t)=e^{-v_0 \tau}$

Concluimos entonces que la probabilidad de que se produzca una reacción cualquiera tras un intervalo $\tau$ sin reacciones es la multiplicación de ambas probabilidades:

$P_1=v_0 dt e^{-v_0 \tau}$

2.- La reacción que se produce tras $\tau$ es $\mu$

Este segundo requisito es mucho más sencillo de analizar. Si se produce una reacción, ¿qué posibilidades tiene cada una de ellas para ser la afortunada? La probabilidad para cada reacción es:

$P_2=\dfrac{v_\mu}{v_0}\dfrac{dt}{dt}=\dfrac{v_\mu}{v_0}$