Todos hemos resuelto alguna vez una ecuación de segundo grado con la conocida fórmula. Pero casi nunca hemos utilizado una fórmula para las ecuaciones de tercer grado, de cuarto, o de grado superior.
En los primeros cursos de secundaria, los temas de ecuaciones casi siempre tienen los mismos contenidos: ecuaciones de primer grado, ecuaciones de segundo grado y, como mucho, alguna ecuación de grado superior que se resuelve usando la regla de Ruffini.
¿Quién no ha utilizado la conocida fórmula
,
para resolver la ecuación de segundo grado
?
Pero, ¿por qué no utilizamos una fórmula similar para resolver las ecuaciones de tercer grado? ¿Y las de cuarto? ¿O es que no existen tales fórmulas?
Veamos como se han abordado estas preguntas a lo largo de la historia.
ALGO DE HISTORIA DE LAS ECUACIONES
Actualmente hay evidencias que los babilonios alrededor del año 1600 a.C. ya conocían un método para resolver ecuaciones de segundo
- Tartaglia
grado, aunque no tenían una notación algebraica para expresar la solución. Los griegos, al menos a partir del año 100 a.C., resolvía las ecuaciones de segundo grado con métodos geométricos, métodos que también utilizaban para resolver algunas ecuaciones de tercer grado.
Parece ser que en el Renacimiento, los matemáticos de Bolonia resolvieron por métodos algebraicos la ecuación de tercer grado (se cree que Scipio del Ferro fue el primero en resolverla), pero la solución permaneció en secreto. En 1535, Niccolo Fontana (más conocido como Tartaglia) demostró que era capaz de resolver la ecuación de tercer grado, pero no explicó como. Sólo se dedico a ganar un concurso público con su método sin desvelar los detalles.
La fórmula descubierta por Tartaglia fue publicada por el físico Girolamo Cardano en su famosa obra Ars Magna en 1545. Tartaglia reducía todas las ecuaciones de grado tres a una de la forma
y la fórmula que dio para resolverlas era:
![x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}](http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04700570/izurdiaga/local/cache-vignettes/L270xH73/215067dffe4c38f8f0572ce6a037fbaf-f448f.png "x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}")
En el Ars Magna también aparecía un método, descubierto por Ludovico, que permitía reducir la resolución de una ecuación de cuarto grado a una de tercer grado, con lo que la fórmula de Tartaglia permite también resolver las ecuaciones de cuarto grado.
¿CUÁNDO EXISTE UNA FÓRMULA PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN POLINÓMICA?
- Galois
Como se puede observar, la fórmula de Tartaglia da la solución de la ecuación de tercer grado a partir de los coeficientes y utilizando sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces.
Este tipo de expresiones se denominan radicales.
Desde la aparición de la fórmula los matemáticos intentaron buscar qué ecuaciones podían resolverse por radicales. Muchos grandes matemáticos atacaron el problema, pero fallaron en resolverlo: Euler, Lagrange (alrededor de 1770), Leibiniz, etc.
En 1813, Ruffini intentó demostrar que las ecuaciones de quinto grado no se pueden resolver por radicales, pero tampoco lo consiguió. Finalmente, Abeldemostró en 1824 que, efectivamente, no existe una fórmula que permita resolver las ecuaciones de quinto grado.
El problema más general fue resuelto por Évariste Galois en 1832 que aporto un método, conocido como la Teoría de Galois, que permite decidir cuándo una determinada ecuación se puede resolver por radicales.
CONCLUSIÓN
Existen fórmulas que permiten resolver las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Sin embargo, no existe una fórmula que permita resolver todas las ecuaciones de quinto grado.
