alquimiayciencias: Aplicaciones del teorema de Taylor

Supongamos que $f$ es una función para la cual existen $f^\prime (x_0), \ldots , f^{(n)}(x_0).$

El polinomio de Taylor de grado $n$ para $f$ en $x_0$ viene dado por

$\displaystyle{ p_n(x)= \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^n.}$

El resto de Taylor de orden $n$ para $f$ en $x_0$ es la diferencia entre la función y su polinomio de Taylor, es decir, $r_n(x)=f(x)-p_n(x).$

La condición del resto asegura que

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{r_n(x)}{(x-x_0)^n}=0.}$

Suponiendo que existen $f^\prime, \ldots, f^{(n+1)}$ en un intervalo $(x_0,x)$ , el teorema de Taylor proporciona las siguientes expresiones para algún $t \in (x_0,x)$

$\displaystyle{r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n (x-x_0 )},$ (Cauchy),

$\displaystyle{r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}},$ (Lagrange).

1. Cálculo de límites con expresiones indeterminadas

Una bonita aplicación de la condición del resto sucede al calcular el límite de una expresión indeterminada sustituyendo las funciones que aparecen por sus polinomios de Taylor.

Supongamos por ejemplo que queremos calcular

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2}.}$

Tomando logaritmos y aplicando la regla de L’Hôpital resulta

$\displaystyle{\log \lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac{\sin x}{x} \right )^{1/x^2} \hskip-1ex =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \log \left (\frac{\sin x}{x}\right ) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2x^2} \frac{x \cos x - \sin x}{\sin x}.}$

Aplicando sucesivas veces la regla de L’Hôpital se obtienen expresiones cada vez más complicadas.

Un recurso es considerar polinomios de Taylor, digamos

$\displaystyle{\cos x = 1-\frac{x^2}{2!} +r_2(x), \hskip1ex\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+s_3(x),}$

donde los restos $r_2(x), s_3(x)$ satisfacen las condiciones $\lim r_2(x)/x^2= 0,$

$\lim s_3(x)/x^3=0$ cuando $x \rightarrow 0.$

Tenemos

$\displaystyle{\frac{1}{2x^2} \frac{x \cos x - \sin x}{\sin x}= \frac{1}{2} \frac{x}{\sin x} \left [ -\frac{1}{3} + \frac{r_2(x)}{x^2}+ \frac{s_3(x)}{x^3} \right ],}$