El principio de intervalos cerrados encajados de Cantor es otra expresión de la completitud del cuerpo de los números reales. Un sistema de intervalos encajados es cualquier familia de intervalos con la propiedad de que para cada se tiene o bien
Teorema (Principio de intervalos encajados) Si es un sistema de intervalos cerrados encajados entonces |
Demostración.
Sea donde para cada y sean Está claro que .
Como los intervalos están encajados, se tiene la desigualdad para cada y de aquí se deduce que está acotado superiormente y está acotado inferiormente.
Ahora se sigue del axioma del supremo que existen
Es fácil comprobar que entonces
y que bajo la hipótesis adicional se tiene
Como ilustración del principio de intervalos encajados en acción tenemos una demostración alternativa del teorema de Bolzano acerca de la existencia de ceros para una función continua en un intervalo.
Teorema de Bolzano Si es una función continua tal que entonces existe tal que |
Demostración.
Tomamos el punto medio del intervalo
Si entonces hemos concluido.
Si entonces elegimos , y si entonces elegimos de modo que y
Ahora tomamos el punto medio del intervalo
Si entonces hemos concluido.
Si entonces elegimos , y si entonces elegimos de modo que y
Continuando este proceso se obtiene una familia de intervalos cerrados encajados tales que y
Según el principio de intervalos encajados, existe algún número real
Afirmamos que Supongamos lo contrario, digamos
Como es continua en , existe tal que para cada
Sea tal que Tenemos luego lo cual es absurdo.
Cuando se razona de forma análoga.