El principio de intervalos cerrados encajados de Cantor es otra expresión de la completitud del cuerpo de los números reales. Un sistema de intervalos encajados es cualquier familia de intervalos
con la propiedad de que para cada
se tiene
o bien 
Teorema (Principio de intervalos encajados) Si |
Demostración.
Sea
donde
para cada
y sean
Está claro que
.
Como los intervalos están encajados, se tiene la desigualdad
para cada
y de aquí se deduce que
está acotado superiormente y
está acotado inferiormente.
Ahora se sigue del axioma del supremo que existen
Es fácil comprobar que entonces
y que bajo la hipótesis adicional se tiene 
Como ilustración del principio de intervalos encajados en acción tenemos una demostración alternativa del teorema de Bolzano acerca de la existencia de ceros para una función continua en un intervalo.
Teorema de Bolzano Si |
Demostración.
Tomamos el punto medio
del intervalo
Si
entonces hemos concluido.
Si
entonces elegimos
, y si
entonces elegimos
de modo que
y
Ahora tomamos el punto medio
del intervalo
Si
entonces hemos concluido.
Si
entonces elegimos
, y si
entonces elegimos
de modo que
y
Continuando este proceso se obtiene una familia
de intervalos cerrados encajados
tales que
y
Según el principio de intervalos encajados, existe algún número real
Afirmamos que
Supongamos lo contrario, digamos
Como
es continua en
, existe
tal que
para cada 
Sea
tal que
Tenemos
luego
lo cual es absurdo.
Cuando
se razona de forma análoga.