lunes, 18 de mayo de 2015

Detallitos sobre agujeros negros ¿Frío o caliente?

Posiblemente no hay ningún objeto físico que atraiga tanto a la imaginación como los agujeros negros.  Por eso, vamos a dar unos cuantos detalles sobre estos, simplemente para fijar ideas y así poder tener un material de referencia al que recurriremos cuando vayamos profundizando en estos temas.
Para estudiar la física de los agujeros negros hay que emplear muchas ramas de la física hagamos una pequeña lista: 
1.-  Relatividad General (u otra teoría gravitatoria):  Ya que estos objetos son producto esencialmente del comportamiento gravitatorio.
2.-  Teoría cuántica (especialmente teoría cuántica de campos en espacios curvos):  Los fenómenos cuánticos son esenciales para entender la física de agujeros negros ya que cosas como su entropía o la radiación Hawking no tendrían sentido.
3.-  Termodinámica:  Los argumentos termodinámicos son determinantes para dilucidar el comportamiento de estos bichos.
Lo anterior es una disculpa, porque vamos a hablar de agujeros negros y posiblemente no sea lo más fácil del mundo, ¿pero qué sería de la vida si sólo hiciéramos lo fácil?
 Por último decir que los agujeros negros no son entelequias teóricas, hoy día la evidencia observacional nos permite asegurar que existen y que son bastante comunes.  No nos ocuparemos aquí, por el momento, de los aspectos observacionales de los agujeros negros.
Y ahora a lo que vamos, en esta primera entrada relacionada con agujeros negros nos vamos preocupar de una cosa.  ¿Tienen temperatura? ¿Son objetos termodinámicos de verdad?
Definición elemental de agujero negro:
Un agujero negro es una zona del espacio donde la gravedad es tan intensa que ni la luz puede escapar de su atracción.
Con esta definición nos basta por el momento, ya iremos profundizando con más calma. Lo interesante es que un agujero negro queda definido por lo que se conoce como horizonte de sucesos. El horizonte de sucesos es la superficie a partir de la cual ya no se puede escapar del agujero.  Para mantenerte en el horizonte de sucesos tienes que moverte a la velocidad de la luz.
 Pero si sobre pasas el horizonte, entonces estás perdido, caerás irremediablemente a la negrura eterna (que poético me ha quedado).  
 Si estamos hablando de un agujero negro sin rotación entonces el horizonte tiene un área dada por su masa (ya veremos por qué) :
 A=4\pi \dfrac{4G^2M^2}{c^4}
donde como de costumbre G es la constante de la gravitación de Newton y c es la velocidad de la luz (en el vacío claro).  A la cantidad  R_{S}=\dfrac{2GM}{c^2} se la denomina el radio de Schwarzschild y es el radio del horizonte. (recordemos que el área de una esfera es 4\pi r^2)
 Ya tendremos tiempo de presentar los argumentos geométricos que conducen a la definición de agujero negro, ahora concentrémonos en lo que nos tenemos que concentrar, temperaturas y termodinámica. Para ello atentos a lo que sigue.

Teorema del Area: 

 El área del horizonte de sucesos de un agujero negro nunca decrece. 
Y en un proceso de colisión de dos agujeros negros el horizonte resultante tiene un área mayor o igual a las áreas de los agujeros originales. 
 dA\geq 0
 donde dA simplemente indica una variación del área del horizonte. 
 Entonces este teorema nos dice que cualquier variación del tamaño del horizonte tiene que ser o para quedarse igual o para crecer. 
 El área, siempre, siempre aumenta.
Importante:  Esto es un teorema, de hecho se conoce como el teorema de Hawking y es necesario insistir en que este resultado únicamente depende de que la gravedad venga descrita por la geometría del espaciotiempo. 
 El único ingrediente extra es que la materia se propage causalmente. 
 Así que ese teorema está en la propia raíz de la Relatividad General (y de otras teorías gravitatorias basadas en argumentos geométricos).
Pero claro, aquí viene la analogía directa, de todos es conocido (o al menos lo hemos oido) que hay algo por ahí con el nombre de entropía que se dice:
 La entropía de un sistema (aislado) sólo puede incrementarse.
(Segundo principio de la termodinámica).
 Por lo tanto la analogía es muy sugerente, pero muy problemática. 

Violaciones del segundo principio:

Si los agujeros negros no tuvieran entropía tendríamos un problemilla con el segundo principio de la termodinámica. ¿Por qué? 
La razón principal es que podríamos lanzar a un agujero negro cualquier sistema con una entropía elevada y una vez que traspasara su horizonte dicha entropía desaparecería del universo. 
 Y por lo tanto tendríamos procesos en los cuales podríamos hacer disminuir la entropía violando así el segundo principio de la termodinámica. 
 ¿Qué tiene de malo violar el segundo principio de la termodinámica?
 Pues nada pero, si la entropía pudiera disminuir significaría que podríamos sacar energía gratis de casi cualquier cosa. 
La entropía es la responsable de que la energía aunque se conserve no tenga la misma calidad y hay energía que puede producir trabajo, y otra que no, que es a lo que llamamos calor.  
Por el momento nadie ha sido capaz de extraer energía gratuitamente y eso es debido a que  la termodinámica en cierto sentido es cierta en sentido absoluto porque no depende de la constitución íntima de los sistemas. 
 A la termodinámica le da igual que existan átomos o no, que los átomos se atraigan o se repelan, le da igual.  
La termodinámica es una rama de la física que se basa única y exclusivamente en hechos empíricos, así que sus bases conceptuales están fuera de toda discusión.  
 (Es por eso que no hay móviles perpetuos ni se puede extraer energía del vacío, por poner dos ejemplos muy populares).
Entonces, Jacob Bekenstein propuso una generalización del segundo principio de la termodinámica apoyandose en el teorema del área de Hawking: 
 En cualquier proceso físico, la suma del área del horizonte de un agujero y la entropía exterior ha de aumentar. 
Esto pone en relación directa el área del agujero negro con la entropía. 
Es por eso que se consideran que los agujeros negros tienen una entropía proporcional a su área. 
De hecho, el coeficiente de proporcionalidad se puede calcular y se obtiene que S=A/4 (Por ahí hay unas cuantas constantes, están G, c y \hbar, pero por el momento no estamos interesados en ellas y siempre podemos emplear unas unidades donde G=c=\hbar=1). 
Explicar por qué la entropía de un agujero negro toma este valor es uno de los requisitos fundamentales para cualquier propuesta de gravedad cuántica. 

MAS ANALOGÍAS:


En esta sección hablaremos de dos tipos de leyes, las leyes termodinámicas y las leyes de la mecánica de los agujeros negros. 
 Estas últimas son las leyes que determinan como se comporta un agujero negro y son leyes fundamentalmente geométricas extraídas de la relatividad general.  Así que en principio son churras y merinas.
A todas luces el teorema del área de Hawking se podría considerar como una relación “termodinámica”, como la segunda ley, pero qué pasa con el resto de leyes termodinámicas, pues veamos:
Ley cero de la termodinámica
 Si dos sistemas termodinámicos están en equilibrio térmico con un tercero, los dos están en equilibrio térmico entre ellos. 
Este enunciado promulga que el equilibrio térmico es transitivo y que además establece una relación de equivalencia, la forma de estimar dicha relación es a través de una magnitud denominada temperatura. Diremos que dos sistemas están en equilibrio térmico si tienen la misma temperatura. 
El anterior enunciado se puede particularizar a un único sistema: 
Si un sistema está en equilibrio térmico, es decir sus distintas partes están en equilibrio térmico entre sí, su temperatura es una constante en todos sus puntos. 
Ley cero de la mecánica de agujeros negros:
 Un agujero negro estacionario tiene una gravedad superficial, \kappa constante en todo su horizonte. 
En este caso hay una analogía total entre el comportamiento de la temperatura y el de la gravedad superficial en el horizonte (hablando pronto y mal la intensidad del campo gravitatorio en el horizonte). 
Primera ley de la termodinámica:
 La variación de energía interna de un sistema viene dada por el intercambio de calor y trabajo con los alrededores.
(Principio de Conservación de la Energía) 
dU=dQ+dW
Recordemos que la variación de calor se puede escribir como  TdS . 
 Y recordemos que el término de trabajo incluirá todos los procesos permitidos sobre el sistema, podremos tener trabajos eléctricos, mecánicos (como poner el sistema a rotar más o menos rápido), cambio de moles, que haya atracciones eléctricas, etc. 
Entonces esta ley queda:
dU=TdS+dW
Primera ley de la mecánica de agujeros negros: 
Un agujero negro variará su energía básicamente cambiando su área, cambiando su manera de rotar, o cambiando su carga eléctrica (en caso de tenerla), así esta ley queda:
dM = \dfrac{\kappa}{8\pi}dA+dW_{rotacion}+dW_{electrico}
 Sobran las palabras, el primer término es el análogo al TdS, fijémonos que si dS=dA/4, T será \kappa/2\pi, ¿Adivinan a qué corresponde \kappa? 
Pues si, la gravedad superficial nos da la medida de la temperatura del agujero. 
El resto de términos son el trabajo producido si el agujero está en  rotación con un momento angular J, y el eléctrico en caso de que el agujero negro tenga carga eléctrica neta no nula.
 Y está claro que dM en este caso es dE (porque estamos considerando c=1). Y también tienen una relación directa con los posibles trabajos dW que se pueden dar en un sistema termodinámico.
Bueno aquí hemos visto que efectivamente tiene sentido hablar de la termodinámica de los agujeros negros. 
Pero esto no está exento de problemas, y os voy a indicar dos para que los vayamos pensando: 
  1. Si un cuerpo tiene temperatura necesariamente tiene que emitir radiación.  Pero si un agujero negro tiene temperatura tiene que emitir, pero de un agujero no puede salir nada.  ¿Paradoja?
  2. Si tiramos un cuerpo al agujero negro aumenta su área, porque aumenta su masa.  Y esto hemos dicho que es consistente con la segunda ley de la termodinámica.  ¿Seguro? ¿Estamos seguros de que no podemos disminuir la entropía del universo tirando cosas a un agujero negro? 
  3. ¿Qué pasa si tiro dos sistemas de la misma masa al agujero pero tienen distinta entropía?  
Nos leemos por ahí…
http://cuentos-cuanticos.com/
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