Los agujeros negros son cosas apasionantes y una de las características más sorprendentes es que tienen entropía.
Pero esto no deja de ser un problema como ya se puso de manifiesto en la entrada mencionada a la hora de hablar de la violación del segundo principio de la termodinámica.
En esta entrada nos queremos centrar justamente en este problema, yendo más al detalle de cómo se puede solventar este problema.
La solución es imponer unas cotas a la entropía que pueden tener los agujeros negros. Y en esta entrada queremos revisar las cotas que hemos de imponer a los sistemas de materia para no violar el segundo principio de la termodinámica.
Además descubriremos una sorpresa más… esto va de hologramas.
RECAPITULANDO:
Tenemos el teorema del área que establece que el área del horizonte nunca puede decrecer. Por lo tanto si A es el área del horizonte cualquier variación de dicha área será positiva o nula:
– Recordemos que el área de un agujero negro viene determinada por su masa:
- Este comportamiento del área del horizonte es lo que motiva la analogía con la entropía.
PERO SI TIENEN ENTROPÍA TENEMOS UN PROBLEMA…
Si un agujero negro de verdad tiene entropía tenemos un problema sobre la mesa.
Si tiramos un sistema masa m con mucha entropía dentro del agujero (imaginemos que sin carga ni rotación) lo único que hará será aumentar su masa en la cantidad de la masa del sistema.
Pero esto nos lleva a preguntar:
¿Ha desaparecido la entropía?
La respuesta es no, no ha desaparecido. ¿Por qué?
Porque se puede demostrar que la entropía (S) del agujero negro está relacionada con el área de su horizonte:
Pero el área está relacionada con su masa, y si aumenta la masa aumenta el área y por lo tanto aumenta la entropía. No ha desparecido. Fantástico,
Por lo tanto, en el universo la entropía total no decrece, pero hemos de sumar la entropía del agujero y la entropía de la materia/energía externa:
A esto se le conoce como segunda ley generalizada.
Si nos fijamos solo en la entropía de la materia, está claro que si tiro un sistema material a un agujero negro su entropía desaparece. Pero la entropía del agujero aumenta.
PERO ESTO NO SOLUCIONA EL PROBLEMA DEL TODO. ¿POR QUÉ?
Imaginemos que tiramos varios sistemas, todos de masa m, al agujero.
Su área (o su masa) aumentará de la misma forma.
Pero supongamos que cada uno de estos sistemas tiene una entropía distinta y que alguno de ellos tiene una entropía muy grande.
Dado que la única información que afecta a la entropía del agujero es su masa, aún se podría perder entropía y por supuesto violar la segunda ley.
Por esto es necesario fijar una cota de entropía.
Entonces Bekenstein conjeturó, porque no está probado hasta lo que sabemos, que un sistema material con una energía E no puede tener una entropía mayor que cierta cantidad que viene dada por:
Tenemos una esfera de radio R que puede en encerrar a sistemas de energía E (de uno en uno la imagen sólo es un ejemplo de que la forma del sistema no importa)
donde R es el radio de la esfera mínima que puede contener al sistema en cuestión. Y E es la energía total de dicho sistema.
Con esta cota se verifica la segunda ley generalizada en cualquier caso y asegura que un sistema de una masa/energía dada no puede tener una entropía arbitrariamente alta.
Y que si lo tiramos al agujero negro su entropía, dada por el área de su horizonte, siempre será mayor o igual a la suma de las iniciales del agujero y el sistema por separado.
Para que quede claro, esta cota es sobre la cantidad máxima de entropía que un sistema material puede tener para que no podamos violar el segundo principio de la termodinámica empleando un agujero negro.
Pero esto no es más que una conjetura, así que hay varias propuestas de cotas en la entropía que puede tener un sistema. Veamos otro ejemplo.
COTA DE SUSKIND O COTA ESFÉRICA DE ENTROPÍA
Leonard Suskind se puso a estudiar cuanta entropía puede tener un sistema de materia. Entonces dijo, sea un sistema con energía E, encerrémoslo con una esfera imaginaria.
Esta esfera tendrá un área A, y Suskind dice:
La entropía del sistema material encerrado por una esfera de área A verificará la siguiente relación:
Es decir, que cualquier sistema tiene que tener una entropía menor que el agujero negro con la misma área que la esfera que encierra el sistema de materia. O dicho de otra forma, un agujero negro es el sistema que tiene la máxima entropía posible para una energía dada.
CUANDO SE PROPONE UN NUEVO PRINCIPIO
Recordemos lo que sabemos de la entropía, que no es mucho pero nos servirá. Resulta que la entropía no es más que el número de microestados (haciendole algunas jugarretas como calcular su logaritmo) que corresponde a un macroestado dado.
Es decir, si tengo un gas con una temperatura, presión, y número de moles dados dentro de un volumen V pues cuento cuantos microestados (posiciones de las moléculas del gas, sus energías, etc) son compatibles con ese macroestado.
No ha de ser difícil entender que si aumento el volumen, hay más configuraciones posibles (las moléculas pueden ocupar más posiciones y se pueden organizar de más formas), pueden recorrer más distancias, etc.
Así que la entropía aumenta cuando aumentamos el volumen.
Podemos decir que la entropía depende del volumen en todos los sistemas que nos rodean.
Pero mire usted por donde, en los agujeros negros la cosa no depende del volumen, depende del área. Pensemos un momento, no depende del volumen (3 dimensiones), depende del área (2 dimensiones). ¿Nos suena?
Entonces Gerad ‘t Hooft propone un principio:
Si tengo una región R de D dimensiones que tiene una frontera B de un número de dimensiones D-1.
Todos los procesos físicos que ocurren en R pueden ser codificados por procesos que sólo tienen lugar en la frontera B.
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Esta es una visión artística. Tengo una cosa encerrada en la esfera (una manzana) y puedo saber cualquier cosa de la manzana mirando las partículas que viven sólo en la superfice.
Es decir, que hay una codificación de la información en R (D dimensiones) en B (D-1 dimensiones). ¿Adivináis como se llama a este principio? Pues sí:
Principio Holográfico
La razón es simple, basta con leer la entrada sobre holografía
¿EL PRINCIPIO HOLOGRÁFICO ESTÁ COMPROBADO O SIRVE PARA ALGO?
Esta pregunta es muy extensa y merece varias entradas por separado.
Pero diremos algo para ir abriendo boca:
- La física de agujeros negros parece verificar este principio por definición (de hecho motivó la formulación de tal principio)
- La teoría de cuerdas establece algo que circula con el nombre de conjetura AdS/CFT. Que lo que nos viene a decir es que si tenemos un universo Anti-de-Sitter toda la física interior se puede codificar en la física de su horizonte (AdS tiene uno) y está descrita por una teoría cuántica de campos conforme. Ya explicaremos esto más adelante, por ahora sólo queremos picar la curiosidad.
- Y en Loop Quantum Gravity (gravedad cuántica de lazos) todo indica que la descripción de los agujeros negros es esencialmente holográfica y además siguiendo una versión de la AdS/CFT
Esperamos que os haya resultado interesante la entrada…
Nos seguimos leyendo
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