El condensado de Bose-Einstein — III

El condensado de Bose-Einstein — I  donde se introdujo el concepto de longitud de onda de de Broglie como aproximación al “tamaño” de una partícula cuántica y se discutió el significado general de partícula en este contexto

y

El condensado de Bose-Einstein — II  donde hicimos un resumen del significado y utilidad del principio (teorema) de indeterminación de Heisenberg y su relación con la longitud de onda de de Broglie.

Continuamos nuestro camino hacia la definición de los condensados de Bose-Einstein tratando el tema de bosones y fermiones.  Esta clasificación de las partículas, que ya hemos tratado varias veces en el blog, es esencial para lo que queda por venir en esta serie de entradas.

El espín de las partículas elementales

El espín es una de esas cosas de las que uno tiene la sensación que no va a entender nunca.  Ciertamente no es un concepto que pueda ser explicado sin recurrir a argumentos técnicos pero también es cierto que su definición matemática nos ayuda a encontrar analogías (y solo son eso, analogías) para facilitar la adquisición de una imagen mental con la que podamos ganar cierta intuición sobre dicho concepto.

Antes de continuar vamos a hacer una pequeña lista de cosas que hemos de asumir sobre el espín.

1. El espín es una característica intrínseca de las partículas como su masa o su carga.  Es decir, el espín es algo así como una de las características definitorias de las partículas.  Toda partícula tiene un valor para su espín igual que tiene un valor para su masa o un valor para su masa.
2. En el caso de las partículas elementales el espín es una consecuencia directa de que la física fundamental satisface los principios de la cuántica y la relatividad.  Que las partículas tengan espín, que tiene consecuencias observables, y que nuestras teorías basadas en la relatividad especial y la mecánica cuántica lo predigan es un gran logro de la física.
3. El espín nos ayuda a entender como una partícula interacciona con el campo magnético.  Cosas como la resonancia magnética nuclear son posibles gracias a la interacción de los espines de los núcleos atómicos con un campo magnético externo aplicado sobre ellos.

El espín y los giros

Seguramente habremos leído o escuchado en multitud de ocasiones que el espín de una partícula corresponde a un giro de dicha partícula sobre un eje.

Pero inmediatamente, en la mayoría de las ocasiones, se acompaña esta imagen mental con un comentario acerca de su imposibilidad física.  La razón para ello es que para poder explicar el valor del espín de una partícula tenemos que aceptar que gira a velocidades superiores a la de la luz.  En realidad ese es un problema menor pero es el ejemplo más extendido en contra de considerar el espín como un giro real en el espacio.

El espín, según la mecánica cuántica, solo puede tener diferentes valores en un conjunto discreto de los mismos.

Supongamos que tenemos entre manos un electrón y que estamos estudiando su espín .  Si el espín fuera como un giro ordinario estaría descrito por un vector que nos indicaría el sentido de giro y la velocidad de rotación, ese vector se denota por  y se denomina momento angular.   Para determinar el sentido del momento angular visto como vector aplicamos la regla del sacacorchos con la mano derecha y miramos si el sacacorchos sale o entra:

Así podemos tener distintas orientaciones del momento angular en función del sentido de giro de la partícula:

Cuando hablamos de momento angular es importante hablar de sus proyecciones sobre ejes que tomamos de referencia, en general los ejes X, Y y Z.  Si disponemos un eje vertical, eje Z, el momento angular puede tener cualquier proyección sobre el mismo:

Todos los valores de las proyecciones sobre cualquier eje, por ejemplo el Z, están permitidas para el momento angular clásico.

El espín por contra es una magnitud cuántica y la cuántica nos dice que solo existen un conjunto discreto de proyecciones sobre un eje determinado, por ejemplo el eje Z.  Para una partícula como el electrón solo existen dos proyecciones, una hacia arriba y otra hacia abajo en el eje Z.

Esto es igual para cualquier otro eje de referencia que elijamos.

Resulta que la mecánica cuántica nos dice que el espín solo puede tener valores que sean múltiplos enteros de  o múltiplos semienteros de .

Para saber cuántas proyecciones son posibles tomamos el valor del espín negativo y vamos sumando una unidad.

Para una partícula con espín igual a 1 las posibles proyecciones sobre un eje de referencia son -1,0 y +1 (en términos de ).  Para una partícula de espín igual a 1/2 las posibles proyecciones son -1/2 y +1/2 (en términos de ).

El espacio y el espacio interno

Toda esta explicación es confusa.  Por un lado decimos que el espín es como un giro.  Por otro lado decimos que el espín no puede ser un giro en el espacio.  Para rematar decimos que el espín se comporta matemáticamente como un giro, como el momento angular. ¿En qué quedamos?

La respuesta está en la descripción matemática de las partículas.  Las partículas pueden variar parámetros que dependen del espacio y el tiempo.  Por ejemplo la posición o la velocidad o la aceleración.  Pero además de eso tiene características que no dependen del espacio y el tiempo en sí mismos, son características intrínsecas a las partículas, características que tienen por su mera existencia y que se explican por la unión de la relatividad especial y la cuántica.  Una de esas características es la masa de la partícula, la masa es un número con unas determinadas unidades, cada tipo de partícula tiene una masa, un número de esos en las unidades que hayamos elegido para expresarla, punto pelota.  Pero además tienen espín y el espín es un vector, ¿dónde vive ese vector?

La imagen que nos tenemos que hacer es que cada partícula vive en el espacio y el tiempo (espaciotiempo) pero sus características intrínsecas se definen en espacios asociados a las partículas indisolublemente ligados a ellas independientemente de la posición que ocupen.  A esos espacios los físicos los denominan espacios internos con el permiso de los matemáticos que los denominan fibras de un fibrado, cuestión de gustos.  

Así que la imagen que tenemos que tener es más o menos así:

Entonces el espín no es una rotación en el espacio usual como la que podemos tener cuando la Tierra gira sobre sí misma.  El espín es una rotación en ese espacio interno que la partícula tiene asociado. Así se puede entender que es una rotación pero no lo es y toda esa trifulca que hemos organizado y que tanto confunde al personal.

Partículas sociales y partículas asociales.  La verdadera importancia del espín

Como hemos insistido las características intrínsecas de las partículas son su masa, sus cargas y el espín.  La masa condiciona cómo responde una partícula ante una interacción, cuánto acelera.  Las cargas nos dicen de qué forma puede interaccionar una partícula.  ¿Qué nos dice el espín?

El espín nos dice muchas cosas pero la que a mi juicio es la más importante de todas es que nos habla de como se comportan las partículas cuando se presentan en gran número.

Hemos dicho que la cuántica establece dos categorías de partículas en función de su valor del espín y esas categorías reciben un nombre:

1. Partículas de espín entero — BOSONES
2. Partículas de espín semientero — FERMIONES

La diferencia entre bosones y fermiones se hace patente cuando tenemos un sistema con un puñado de partículas.

Si el sistema está compuesto por bosones resulta que todas esas partículas pueden estar en el mismo estado sin problemas.  Por contra, si el sistema está formado por fermiones no podemos tener más de una partícula en un estado.  Los bosones, partículas de espín entero, son partículas sociales, y los fermiones, partículas de espín semienterio, son partículas asociales. Veamos un ejemplo de eso.

La cuántica nos dice que en muchas ocasiones la energía que puede tener un sistema solo puede tener determinados valores, los niveles de energía.

Niveles de energía permitidos en un sistema cuántico.

Ahora supongamos que ese sistema está compuesto por tres partículas.  ¿Cuál será la configuración de menor energía del sistema?  La respuesta es fácil, aquel en el que las tres partículas estén en el menor nivel de energía, así sus suma de energías será la más pequeña posible.

Pero eso no es siempre correcto.  Todo depende de si las partículas son bosones o fermiones.  Si consideramos el espín de nuestras partículas determinar su estado en este ejemplo consiste en decir en qué nivel de energía se encuentran y con qué proyección de espín en un eje de referencia.

Si las partícula son fermiones de espín 1/2 (en unidades de ) el estado de las tres partículas en el nivel de mínima energía  y todas ellas con una proyección de +1/2 del espín en el eje de referencia vendría dado por ((E_0,+1/2),(E_0,+1/2),(E_0,+1/2))  

Pero eso es imposible porque los fermiones no pueden estar en el mismo estado y esas lo están, esa configuración está prohibida.  Eso es lo que se conoce como principio de exclusión de Pauli.

La primera configuración permitida sería:

Es decir la configuración de estados .

Los bosones, por su parte, no tienen estos problemas.  Un conjunto de bosones pueden estar todos en el mismo estado, así que la primera configuración:

Se puede conseguir sin problemas independientemente de la proyección del espín.  Los bosones pueden estar todos en el mismo estado.

El espín y los átomos

Hasta ahora nos hemos restringido al espín de partículas elementales consideradas puntuales, sin estructura interna, pero el espín se puede asociar a cualquier partícula que como vimos en la primera entrada de esta serie pueden ser partículas compuestas, átomos o moléculas (dependiendo con el nivel de detalle que las describamos se pueden considerar como partículas).

Centrémonos en los átomos.  Un átomo es una cosa complicada en estructura. 

 Está compuesto por un núcleo formado por protones y neutrones y por electrones, en mismo número que protones en su núcleo, pululando alrededor. 

Protones, neutrones y electrones son todos fermiones de espín 1/2. 

¿Un átomo dado es un fermión o un bosón?

La respuesta a esa pregunta no es directa y depende en como se defina la forma de “sumar” espines de las distintas partículas que encontramos en un sistema compuesto como el átomo.  Afortunadamente, para el caso que nos ocupa de los condensados de Bose-Einstein hay una regla simple para responder dicha cuestión.

Si los átomos tienen un número par de partículas se comporta como un bosón y si tiene un número impar de partículas se comporta como un fermión.

Por ejemplo, el hidrógeno tiene un protón y un electrón, dos partículas en total, entonces es un bosón a todos los efectos.  Si tenemos el deuterio, que es un hidrógeno en cuyo núcleo hay un protón y un neutrón más el electrón exterior tiene tres partículas en total, por lo tanto es un fermión.

Para átomos más complicados, por ejemplo el Rubido 87 (87Rb) tenemos que mirar en la tabla periódica y buscar el número de protones de su núcleo, lo que se conoce como número atómico:

 El 87Rb significa que en su núcleo hay 87 partículas entre protones y neutrones.

 El número atómico, número de protones en el núcleo es de 37 por lo tanto ese es el número de electrones del átomo (así hay el mismo número de cargas positivas que negativas en el átomo).  

Resulta entonces que hay 37 protones, 50 neutrones y 37 electrones en el 87Rb.  

Su suma es de:  37+50+37=124 partículas en total en el átomo, así que el 87Rb es un bosón.

Con esto terminamos con la introducción de los conceptos necesarios para entender qué es un condensado de Bose-Einstein y su realización experimental.

Nos seguimos leyendo…