El condensado de Bose-Einstein — II

Continuamos con la presentación del condensado de Bose-Einstein que empezamos en la entrada anterior:

El condensado de Bose-Einstein — I

En ella hablamos del tamaño de las partículas y presentamos la longitud de onda asociada, la longitud de de Broglie.

En esta entrada nos ocuparemos del principio de indeterminación presentando sus características más fundamentales y más importantes en el tema que nos ocupa.

 ¿Vamos?

El principio de indeterminación. Lo que no se puede conocer no se puede conocer y además es imposible

En nuestro mundo, a nuestra escala, en nuestra experiencia, siempre podemos determinar todas las magnitudes físicas de un sistema.  Podemos decir su posición, su velocidad, su energía, como gira en el eje X, en el eje Y y en el eje Z, podemos dar todos los valores de todas las magnitudes físicas observables (que podemos medir).  Esto nos lleva a aceptar que todas estas magnitudes están definidas en los sistemas físicos, un sistema siempre tiene posición, velocidad, energía, giros, etc, en todo instante de tiempo los midamos o no, y si quisiéramos medirlos lo podríamos hacer con total precisión si la técnica nos lo permitiera.

Pero esta no es toda la historia, tenemos que contar con la mecánica cuántica.

La mecánica cuántica zanja este asunto de una manera sorprendente. Si asumimos que los principios de dicha teoría son válidos, y por ahora todas sus predicciones se han confirmado en los experimentos así que no podemos dudar de ellos, surge un teorema en su seno.  El teorema es lo que se conoce como principio de indeterminación, que insisto, no es un principio, se deriva de la teoría así que es una consecuencia inevitable de la misma.

Lo que nos dice este resultado es que en cuántica los sistemas no tienen definidos simultáneamente todos los valores de todas las posibles magnitudes observables que podemos determinar de un sistema cuántico.  Es decir, hay pares de magnitudes que no están definidas simultáneamente.

Algún ejemplo de estas parejas son:

• Posición y velocidad (más bien el producto de la masa por la velocidad, lo que se denomina momento).
• Dos giros (momentos angulares) en dos direcciones distintas.
• Energía del sistema y tiempo de medida de dicha energía (aunque esta relación es un poco diferente a las dos anteriores).

Eso quiere decir que el sistema no tiene valores simultáneos definidos de posiciones y velocidades.  Esas cantidades están indeterminadas, eso es lo que nos dice el principio (teorema) de indeterminación de Heisenberg.

Claro está, podemos intentar medir ambas magnitudes, posición y velocidad, simultáneamente y obtendremos un resultado para ellas.  Sin embargo, la seguridad con la que podemos confiar en esos valores medidos, la indeterminación de la medida, no es nula.  Es decir, cuanto mejor conocemos la posición de una partícula peor conocemos su velocidad y viceversa.  No hay ningún problema en determinar de forma exacta la posición o la velocidad de una partícula (si pudiéramos desde el punto de vista técnico), el coste es que la magnitud compañera estará totalmente indeterminada.

El principio (teorema) de indeterminación establece que el producto en el desconocimiento de la posición  multiplicado por el desconocimiento – indeterminación- en la velocidad o momento  siempre es mayor que la constante de Planck (aproximación válida en este contexto).

La teoría nos dice como se calculan tanto  como $\Delta p$.  Así si disminuímos uno el otro tiene que aumentar para que la restricción siga siendo válida.

El principio (teorema) de indeterminación no es una limitación de nuestra tecnología que superaremos con el tiempo mejorando nuestros aparatos de medida. Es una restricción fundamental, los sistemas físicos a nivel cuántico no tienen definidos los valores de los distintos observables físicos simultáneamente en todos los casos.

De Broglie y Heisenberg

Existe una relación entre la indeterminación en la posición de una partícula y la longitud de onda asociada según la idea de de Broglie.   Desde el punto de vista cuántico cuando intentamos mirar la posición de una partícula con una determinación mejor que su longitud de onda asociada nos encontramos con que esta muestra carácter ondulatorio y por tanto su posición no está fijada con total precisión.

Así al medir la posición de una partícula la indeterminación asociada  al menos es su longitud de onda asociada.

Es interesante notar que si estamos con un gas de partículas y bajamos su temperatura su longitud de onda asociada aumenta.  Si la longitud de onda asociada aumenta entonces la indeterminación en su posición aumenta.  Si la indeterminación en su posición aumenta entonces la indeterminación en su momento, o velocidad, disminuye.

Eso es consistente con la idea de que al bajar la temperatura las velocidades de las partículas del gas se van reduciendo.  Idealmente, y esto solo es idealmente, al bajar la temperatura al cero absoluto todas las partículas tendrían velocidad nula (eso es una idealización, insisto).

Reposaremos un poco sobre esto.  

En la próxima entrada hablaremos de bosones y fermiones y con ello tendremos todos los ingredientes para empezar a tratar el condensado de Bose-Einstein en sí mismo.

Nos seguimos leyendo…