Primer problema
- Calcular la integral impropia
- Demostrar que la integral impropia es convergente.
- Utilizar el cambio de variable para probar que
- Calcular la integral impropia
Solución
Aplicando la fórmula de integración por partes con el esquema resulta luego
El segundo apartado parece deducirse fácilmente del criterio de comparación directa, porque pero esto es un error, porque ambas funciones son negativas en el intervalo
Sin embargo, y entonces el criterio de comparación asintótica viene al rescate para concluir que
El tercer apartado se resuelve practicando el cambio de variable de tal modo que y por lo tanto
como queríamos demostrar.
Ahora observamos que, por razones de simetría, de donde y por lo tanto
Segundo problema
- Probar que la serie de funciones converge puntualmente en la recta real hacia una función digamos.
- Demostrar que la convergencia es uniforme sobre el intervalo donde Indicación: Hallar primero el máximo de sobre
- Demostrar que para cada y deducir que Indicación: Estimar la suma mediante una integral impropia.
- Concluir que la serie de funciones no converge uniformemente en la recta real.
Solución
Si entonces todos los términos de la serie se anulan, y si entonces se tiene
Ahora observamos que cuando
Sea y sea tal que
Sea
Si entonces luego
Se deduce de la prueba de mayoración de Weierstrass que la serie de funciones converge uniformemente en el intervalo
A continuación tenemos
Siguiendo la indicación, estimamos esta suma mediante una integral impropia, a saber,
de donde se deduce que
Finalmente concluimos que la serie de funciones no converge uniformemente sobre la recta real, porque siendo cada término una función continua, bajo el supuesto de convergencia uniforme debe ser una función continua, luego lo cual es una contradicción puesto que