Por economía, en esta entrada supondremos que, si no se especifica lo contrario, todas las integrales “∫” se definen en el intervalo del que se haya hablado donde aparezcan y los sumatorios “∑” entre “n=1″ e “∞”.
Coeficientes de Fourier:
En muchos problemas de física las ecuaciones que los describen admiten soluciones elementales en forma de senos y cosenos (vibraciones mecánicas, respuesta de un circuito eléctrico, difracción de la luz…), de manera que si somos capaces de representar una función arbitraria como una suma de funciones trigonométricas resulta fácil expresar la solución de estos problemas frente a una “excitación” arbitraria.
Consideremos una cierta función real de variable real, “f(x)”, definida en el intervalo [-π, π]. Supongamos que esta función se puede expandir como una suma de funciones trigonométricas:
- f(x) = a0 / 2 + a1 Cosx + b1 Senx + a2 Cos(2 x) + b2 Sen(2 x) + …
Se nos plantea el problema de encontrar los coeficientes “an” y “bn” que hacen que se cumpla la igualdad anterior en el intervalo [-π, π]. Más adelante estudiaremos en detalle qué condiciones ha de cumplir “f(x)” para que este desarrollo sea correcto.
Supondremos que esta serie es uniformemente convergente para poder integrar término a término:
- ∫(f(x) dx) = (a0 / 2) ∫(dx) + ∑[an ∫(Cos(n x) dx) + bn ∫(Sen(n x) dx]).
Observemos que, con nuestros criterios:
- ∫(dx) = 2 π.
- ∫(Cos(n x) dx) = 0.
- ∫(Sen(n x) dx) = 0.
De modo que obtenemos:
- a0 π = ∫(f(x) dx).
- a0 = ∫(f(x) dx) / π.
Es decir, “a0″ es el valor medio de la función “f(x)” en el intervalo [-π, π].
Para calcular “an” multiplicaremos nuestra serie por “Cos(m x)”, de modo que:
- f(x) Cos(m x) = a0 Cos(m x) / 2 + ∑[an Cos(n x) Cos(m x) + bn Sen(n x) Cos(m x)].
Ya hemos visto que:
- ∫(Cos(n x) dx) = 0.
, por otra parte tenemos que:
- Cos(n x) Cos(m x) = (Cos((n + m) x) + Cos((n – m) x)) / 2.
- Sen(n x) Cos(m x) = (Sen((n + m) x) + Sen((n – m) x)) / 2.
- Sen(n x) Sen(m x) = (Cos((n – m) x) – Cos((n + m) x)) / 2.
Por lo tanto:
- ∫(Cos(n x) Cos(m x) dx) = [∫(Cos((n + m) x) dx) + ∫(Cos((n – m) x) dx)] / 2.
, donde “n” y “m” son números naturales. Pero:
- ∫(Cos((n + m) x) dx) = 0.
- ∫(Cos((m – n) x) dx) = 0, si “m ≠ n”.
- ∫(Cos((n – m) x) dx) = 2 π, si “m = n”.
Resumiendo:
- ∫(Cos(n x) Cos(m x) dx) = 0, si “m ≠ n”, e = π, si “m = n”.
Para la otra integral tenemos:
- ∫(Sen(n x) Cos(m x) dx) = [∫(Sen((n + m) x) dx) + ∫(Sen((n – m) x) dx)] / 2.
- ∫(Sen((n + m) x) dx) = 0.
- ∫(Sen((n – m) x) dx) = 0, si “m ≠ n”.
Cuando “m = n” tenemos directamente:
- Sen((n – m) x) = 0.
Resumiendo entonces:
- ∫(Sen(n x) Cos(m x) dx) = 0.
, con “n” y “m” números naturales.
- ∫(f(x) Cos(m x) dx) = π an.
- an = ∫(f(x) Cos(m x) dx) / π.
- n ≥ 0.
Para calcular “bn” multiplicamos la serie por “Sen(m x)” y procedemos de manera análoga:
- ∫(f(x) Sen(m x) dx) = a0 ∫(Sen(m x) dx) / 2 + ∑[an ∫(Cos(n x) Sen(m x) dx) + bn ∫(Sen(n x) Sen(m x) dx)].
Recordemos que:
- ∫(Sen(n x) dx) = 0.
- n ≥ 0.
- ∫(Sen(n x) Cos(m x) dx) = 0.
, con “n” y “m” números naturales.
Finalmente:
- ∫(Sen(n x) Sen(m x) dx) = [∫(Cos((n – m) x) dx) – ∫(Cos((n + m) x) dx)] / 2.
- ∫(Cos((n + m) x) dx) = 0.
- ∫(Cos((m – n) x) dx) = 0, si “m ≠ n”.
- ∫(Cos((n – m) x) dx) = 2 π, si “m = n”.
- ∫(Sen(n x) Sen(m x) dx) = 0, si “m ≠ n”, e = π, si “m = n”.
Por lo tanto obtenemos:
- ∫(f(x) Sen(m x) dx) = π bn.
- bn = ∫(f(x) Sen(m x) dx) / π.
- n ≥ 1.
Por lo tanto, si la serie de Fourier que hemos descrito al principio es uniformemente convergente, entonces los coeficientes “an” y “bn” se obtienen mediante las fórmulas obtenidas.
En muchos casos, no obstante, no sabemos si una función dad admite un desarrollo medianteuna serie trigonométrica uniformemente convergente. De todos modos, resulta útil tomar la perspectiva de definir ciertos números “an” y “bn”, que usaremos para construir la serie trigonométrica. A éstos números los llamamos coeficientes de Fourier, y la serie, serie de Fourier.
De acuerdo con esto, una serie de Fourier es un tipo especial de serie trigonométrica cuyos coeficientes se calculan con las anteriores ecuaciones a cierta función “f(x)”. Para ello solo es necesario que tales integrales existan.
Obviamente, lo que uno desea es que la serie de Fourier sea convergente y tenga como suma la propia “f(x)”, pero no siempre ocurre así: existen funciones integrables en el intervalo [- π, π] que no son la suma de ninguna serie de Fourier. Y a la inversa, existen series trigonométricas convergentes que no son ninguna serie de Fourier. Por ejemplo, la serie:
- ∑(Sen(n x) / log(1 + n)).
converge para todo valor de “x”, pero no es una serie de Fourier, lo cual significa que los coeficientes de esta serie no se pueden obtener aplicando las fórmulas anteriores a ninguna función integrable.
Convergencia de una Serie Funcional:
Sea “fn”, con “n” natural, un conjunto de funciones reales con el mismo dominio “S” sobre la recta real.
Se dice que la sucesion “fn” converge puntualmente a “f” en el dominio “S” si cumple que:
- f(x) = lim(n→∞) fn(x).
, para cualquier “x” perteneciente a “S”.
Se dice que la sucesión “fn” converge uniformemente a “f” en el dominio “S” si cumple que: para todo:
- ε > 0.
existe un número natural “N” tal que todo:
- n > N.
se cumple que:
- |fn(x) – f(x)| < ε.
, siendo “x” perteneciente a “S”.
Consideremos una serie funcional a partir de una sucesión de funciones “fn”. La sucesión de sumas parciales “Sn” viene dada por:
- Sn(x) = ∑(fk(x)) desde “k = 1″ hasta “n”.
, para todo “x” perteneciente a “S”.
Si la sucesión “Sn” converge a “f” en “x” diremos que la serie de funciones es convergente y:
- ∑(fk(x)) = f(x).
Si en particular la sucesión “Sn” converge uniformemente a la función “f” en el conjunto “S”, diremos que la serie converge uniformemente en “S”. La condición de convergencia uniforme es suficientemente fuerte para garantizar que se puede integrar término a término la serie.
El Problema de la Convergencia:
Se plantea la cuestión de cándo la serie de Fourier converge a la función de partida. Consideremos la serie de Fourier dada por:
- f(x) = a0 / 2 + ∑[an Cos(n x) + bn Sen(n x)].
Cada término de esta serie es una función periódica de periodo “2 π”, ya que:
- Cos(n x) = Cos(n x + 2 π).
- Sen(n x) = Sen(n x + 2 π).
Por lo tanto, cuando esta serie es convergente, la función a la que converge debe verificar:
- f(x + 2 π) = f(x).
En particular, se cumple además que:
- f(π) = f(- π).
Obviamente, esta condición no se cumple para cualquier función arbitraria en el intervalo [- π, π]. Dada cualquier función definida únicamente en el intervalo [- π, π], podemos extenderla periódicamentea toda la recta real mediante la condición:
- f(x + 2 π) = f(x).
Por otra parte, consideremos los siguientes límites laterales de la función:
- f(x+) = lim(ε→0) f(x + ε).
- f(x-) = lim(ε→0) f(x – ε).
- ε > 0.
Una función que presente una discontinuidad de salto en un cierto punto tiene límites laterales distintos en ese punto.
Teorema de Dirichlet:
Sea “f(x)” una función acotada y definida en el intervalo [- π, π] con un número finito de discontinuidades y un número finito de máximos y mínimos. Para otros valores de “x” fuera del intervalo [- π, π] extendemos la definición de “f(x)” por medio de la condición de periodicidad:
- f(x + 2 π) = f(x).
Entonces la serie de Fourier converge a: “[f(x‾) + f(x+)] / 2″.
en todo punto “x”, y por lo tanto converge a “f(x)” en todo punto de continuidad de la función. En los puntos de discontinuidad podemos redefinir la función como el promedio de sus límites laterales:
- f*(x) = [f(x-) + f(x+)] / 2.
Entonces la serie de Fourier representa la función f*(x) en todo punto “x” perteneciente a la recta real.
Las condiciones de validez de este teorema se denominan condiciones de Dirichlet. En general, la continuidad de una funicón no es suficiente, ni tampoco necesaria, para garantizar la convergencia de su serie de Fourier.
El Fenómeno de Gibbs:
Aunque el teorema de Dirichlet nos garantiza que en una discontinuidad de una función “f(x)” la serie de Fourier converge a:
- f*(x) = [f(x-) + f(x+)] / 2.
La serie presentará un pico próximo a la discontinuidad. Este pico se acercará más a la discontinuidad al sumar más términos de la serie, pero su amplitud “δ” no disminuye cuando el número de términos sumados tiende a infinito. El valor de “δ” es proporcional a la magnitud de discontinuidad en “x0″.
Series de Fourier de Funciones Pares e Impares:
Se dice que una función real de variable real es par si:
- f(x) = f(- x).
Se dice que una función real de variable real es impar si:
- f(x) = – f(- x).
Una función par presenta simetría respecto al eje “y”, mientras que una función impar presenta simetría respecto al origen de coordenadas. Obsérvese que toda función impar debe pasar por el origen de coordenadas, ya que debe cumplir:
- f(0) = – f(0).
, y el único número real que verifica esto es el 0.
Ejemplos de funciones pares:
- f(x) = Cos(n x).
- f(x) = x^2.
Ejemplos de funciones impares:
- f(x) = Sen(n x).
- f(x) = x^3.
Si una función es par verifica lo siguiente:
- ∫(f(x) dx) desde “- a” hasta “a” = 2 ∫(f(x) dx) desde “0” hasta “a.
Si una función es impar se cumple:
- ∫(f(x) dx) desde “- a” hasta “a” = 0.
Además, bajo el producto las funciones pares e impares se comportan de la siguiente manera:
- par x par = par.
- par x impar = impar.
- impar x impar = par.
Toda función real de variable real puede descomponerse en una función par y otra función impar:
- f+(x) = (f(x) + f(- x)) / 2.
- f-(x) = (f(x) – f(- x)) / 2.
Esta claro que con esta definición tenemos:
- f(x) = f+(x) + f-(x).
Podemos entonces escribir:
- ∫(f(x) dx) = ∫(f+(x) dx) = 2 ∫(f+(x) dx) desde “0” hasta “π”.
Las reglas de paridad nos pertmiten establecer la cancelación de algunas integrales si tener que calcularlas explícitamente. Por ejemplo:
- ∫(x Sen(n x) dx) = 2 ∫(x Sen(x) dx) desde “0” hasta “π”.
Puesto que se trata de una función par (impar x impar). Teniendo todo esto en cuenta, es evidente por ejemplo que:
- ∫(Sen(n x) dx) = 0.
- ∫(x^2 Sen(n x) dx) = 0.
- ∫(x Cos(x) dx) = 0.
Propiedad:
Sea “f(x)” una función integrable definida en el intervalo [- π, π]. Se verifica que:
.-Si “f(x)” es par:
Su serie de Fourier sólo contiene términos de tipo Coseno:
- f(x) ≈ a0 / 2 + ∑(an Cos(n x)).
La función “f(x) Sen(n x)” es impar y:
- bn = (∫(f(x) Sen(n x) dx)) / π = 0.
- an = (∫(f(x) Cos(n x) dx)) / π = 2 (∫(f(x) Cos(n x) dx) desde “0” hasta “π”) / π.
.-Si “f(x)” es impar:
Su serie de Fourier solo contiene términos tipo Seno:
- f(x) ≈ ∑(bn Sen(n x)).
La función “f(x) Cos(n x)” es impar y:
- an = (∫(f(x) Cos(n x) dx)) / π = 0.
- bn = (∫(f(x) Sen(n x) dx)) / π = 2 (∫(f(x) Sen(n x) dx) desde “0” hasta “π”) / π.
Extensión Par e Impar:
Dada una función “f(x)” definida en el intervalo [0, π], podemos extenderla al intervalo [- π, 0] de modo que sea par o impar a voluntad:
- f(x) = f(- x).
- f(x) = – f(- x).
Siendo la primera una extensión par y la segunda una impar. Sus funciones serán tipo Coseno y tipo Seno, respectivamente.
Derivación e Integración de las Series de Fourier:
Consideremos las siguientes series de Fourier en el intervalo [- π, π]:
- x^1 → 2 ∑((- 1)^(n+1) Sen(n x) / n).
- x^2 → π^2 / 3 + 4 ∑((- 1)^n Cos(n x) / n^2).
- x^3 → ∑((12 / n^3 – 2 π^2 / n) (- 1)^n Sen(n x)).
- x^4 → π^4 / 5 + ∑((8 π^2 / n^2 – 48 / n^4) (- 1)^n Cos(n x)).
Obsérvese que la serie de Fourier de “x” se puede obtener derivando término a término la de “x^2″, pero esto no es un resultado general, es decir, la convergencia de una serie de Fourier no garantiza que la derivada término a término de la serie converja a la derivada de la función de partida. La propia serie de Fourier de “x” no puede ser derivada término a término para obtener la constante unidad. Pueden darse ciertascondiciones que deben satisfacer las funciones para que sus series de Fourier se puedan derivar e integrar término a término.
Teorema:
Sea una función “f(x)” periódica y continua a trozos, entonces su serie de Fourier, aunque no sea convergente, puede integrarse término a término y la serie resultante converge a la integral de la función “f(x)”.
Teorema:
Sea una función “f(x)” periódica, continua en todo “x” y tal que “f'” satisfaga las conciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier de “f'” coincide con las derivada de la serie de Fourier de “f(t)”.
Si derivamos la serie de Fourier de:
- f(x) = x^3 / 3.
no obtenemos la serie de Fourier de “x^2″. No se cumplen las condiciones del teorema previo, pues la función:
- f(x) = x^3 / 3.
extendida periódicamente a toda la recta real no es continua. Por otro lado, la función:
- f(x) = x^2.
extendida de forma periódica sí que es continua, por lo tanto el teorema anterior garantiza que podemos derivar término a término su serie de Fourier para obtener la serie de Fourier de la función “2 x”.
Extensión a Intervalos Arbitrarios:
La forma canónica de la serie de Fourier que hemos manejado hasta ahora estaba definida en el intervalo:
- – π ≤ x < π.
, pero es sencillo extender el estudio a intervalos del tipo:
- – L ≤ x < L.
- L>0.
arbitrario. Basta hacer un cambio de escala en el eje “x” de modo que transformamos el intervalo [- π, π] en el intervalo [- L, L]: Si hacemos:
- x = L t / π.
, entonces, si “t” pertenece al intervalo [- π, π], “x” pertenece a [- L, L].
Vemos por lo tanto que, dada una función “f(x)” definida sobre el intervalo [- L, L], el sencillo cambio de variable anteriornos lleva a otra función, “g(t)”, definida en el intervalo [- π, π].
- f(x) = f(L t / π) = g(t).
, con “t” perteneciente a [- π, π].
Si “f(x)” satisface las condiciones de Dirichlet, es obvio que “g(t)” también lo hace. La serie de Fourier de “g(t)” será:
- g(t) = a0 / 2 + ∑(an Cos(n t) + bn Sen(n t)).
- an = (∫(g(t) Cos(n t) dt) / π.
- bn = (∫(g(t) Sen(n t) dt)) / π.
Podemos retornar a la variable original “x” teniendo en cuenta que:
- t = π x / L.
En consecuencia, la serie de Fourier de cualquier función “f(x)” definida en un intervalo simétrico en torno al “0”, [- L, L], será:
- f(x) = a0 / 2 + ∑(an Cos(n π x / L) + bn Sen(n π x / L)).
- an = (∫(f(x) Cos(n π x / L) dx) / π.
- bn = (∫(f(x) Sen(n π x / L) dx)) / π.
Funciones Ortogonales. Series de Fourier Generalizadas:
Dadas las funciones “f1(x)” y “f2(x)”. definidas en un cierto intervalo de la recta real [a, b], diremos que son funciones ortogonales si verifican:
- ∫(f1(x) f2(x) dx) = 0.
Esta propiedad se puede extender a un cierto conjunto numerable de funciones sobre un intervalo, de modo que se trate de una colección de funciones mutuamente ortogonales.
Sea pues un conjunto {Φn(x)} de funciones reales definidas sobre el intervalo [a, b]. Si se verifica que:
- ∫(Φm(x) Φn(x) dx) = 0.
- m ≠ n.
se dice que es un conjunto de funciones ortogonales en el intervalo [a, b].
Definiremos como norma cuadrática de una función en el intervalo [a, b] a la integral:
- 0 ≤ ||Φn(x||^2 = ∫(Φn(x)^2 dx).
Obsérvese que siempre podemos convertir un conjunto ortogonal de funciones {Φn(x)} en un conjunto ortonormal dividiendo por la norma de cada una de ellas:
- θn(x) = Φn(x) / ||Φn(x)||.
De este modo tenemos asegurado que:
- ||θn(x)|| = 1.
, y {θn(x)} es entonces un conjunto ortonormal.
Sea ahora {θn(x)} una sucesión ortonormal de funciones en el intervalo [a,b]. Dada una función “f(x)” cualquiera, podemos intentar expresarla mediante el siguiente desarrollo en el intervalo [a, b]:
- f(x) = ∑(ak θk(x)).
Para determinar los coeficientes “an” multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por “θk(x)”:
- f(x) θn(x) = ∑(ak θk(x) θn(x)).
Vamos a suponer que podemos realizar la integración en el intervalo [a, b]. Entonces tenemos:
- ∫(f(x) θn(x) dx) = ∑[ak ∫(ak θk(x) dx)] = ∑(ak δkn) = an.
Estos números se denominan coeficientes de Fourier de “f(x)” respecto a la sucesión ortonormal {θn(x)}, y la serie asociada siguiente es la serie de Fourier de “f(x)” respecto a {θn(x)}.
- ∑(ak θk(x)).
A este tipo de serie se le denomina serie de Fourier generalizada.
La descomposición de una función “f(x)” en términos de funciones {θn(x)} es análoga a la descomposición de un vector en componentes referidas a una cierta base, por ello se puede definir de modo análogo un producto escalar o interior de funciones:
- (f, g) = ∫(f(x) g(x) dx).
que verifica las propiedades usuales de linealidad y simetría:
- (f1 + f2, g) = (f1, g) + (f2, g).
- (c f, g) = c (f, g).
- (f, g) = (g, f).
Con esta notación, dos funciones se dicen ortonormales si su producto escalar es cero:
- (f, g) = 0.
Y además su norma al cuadrado es:
- ||f||^2 = (f, f).
Los coeficientes de Fourier vendrían dados entonces por el siguiente producto escalar:
- an = (f, θn).
Comparemos esto con la expansión de un vector de R^3 en términos de una base ortonormal {¬e1, ¬e2, ¬e3}. Tendríamos:
- ¬v = a1 ¬e1 + a2 ¬e2 + a3 ¬e3.
- an = (¬v, ¬en) = (¬en, ¬v) = ¬v ¬en.
A pesar de esta comparación, hemos de tener en cuenta que en el caso de series de Fourier trabajamos con espacios lineales de funciones definidas en un cierto intervalo [a, b], y no con un espacio lineal vectorial ordinario. Estos espacios lineales de funciones tienen dimensión infinita, en el sentido de que es necesaria una sucesión ortonormal infinita para poder representar una función arbitraria “f(x)” definida en [a, b].
En realidad, no todas las funciones admiten un desarrollo en serie de Fourier, como ya sabemos. Denotaremos por “R” el espacio de todas las funciones “f(x)” definidas en [a, b] que admiten un desarrollo en serie de Fourier. Este espacio está constituído por todas las funciones integrables Riemann sobre dicho intervalo. Además, no todas las sucesiones ortonormales de funciones son adecuadas para representar una función arbitraria de “R”. Para ello necesitamos que el conjunto {θn} sea maximal, esto es, que pueda reproducir de modo exhaustivas todas las funciones de “R”. Se dice que una sucesión ortonormal {θn(x)} es completa o maximal respecto al intervalo [a, b] si la única función ortogonal a todas las funciones “θn(x)” es la función cero o nula. Una función “f” es nula si cumple:
- ||f^2|| = (f, f) = 0.
O lo que es equivalente:
- ∫(|f(x)|^2 dx) = 0.
Con la definición de producto dado para nuestro espacio de funciones “R”, tenemos también una definición de distancia entre funciones:
- d(f, g) = ||f – g|| = [∫((f(x) – g(x))^2 dx)]^1/2.
Un espacio lineal en el que hemos definido una distancia que satisface las propiedades usuales, se llama espacio métrico. Dos funciones de “R” se consideran iguales si difieren en una función nula.
Convergencia en Media de las Series de Fourier:
Sea “f(x)” una función definida sobre un intervalo [a, b] y sea {pn(x)} una sucesión de funciones en este intervalo, todas ellas integrables en [a, b]. Queremos estudiar la convergencia de la sucesión {pn(x)} a “f(x)”. Si aproximamos “f(x)” por “pn(x)”, las expresiones:
- |f(x) – pn(x)|.
- |f(x) – pn(x)|^2.
proporcionan una medida del error cometido en la aproximación. Cuando la sucesión de funciones {pn(x)} converge a la función “f(x)” en todo punto “x” del intervalo [a, b], entonces la expresión “(f(x) – pn(x))^2″ tiende a cero y hablamos de convergencia puntual o convergencia punto a punto. Por otra parte, si queremos dar una medida global del error que cometemos al aproximar la función “f(x)” por “pn(x)”, es más adecuado utilizar la segunda expresión para definir el error cuadrático medio a lo largo del intervalo [a, b] como:
- En = ∫((f(x) – pn(x))^2 dx).
Se dice que la sucesión {pn} converge en media a la función “f(x)” cuando se verifica:
- lim(n→∞) En = 0.
A veces esto se denota también como:
- l.i.m(n→∞) pn(x) = f(x).
, donde “l.i.m” significa convergencia en media. Fijémonos que una función que cumple las condiciones de Dirichlet verificará que su serie de Fourier converge en media a “f(x)”. Por otra parte, tal y como hemos definido el valor de “En”, se cumple que:
- En = ||f – pn||^2.
Por lo tanto la convergencia media significa:
- lim(n→∞) ||f – pn|| = lim(n→∞) d(f, pn) = 0.
Consideremos {θn(x)} una ortonormal de funciones en [a, b]:
- (θn,θm) = ∫(θn(x) θm(x) dx) = δnm
Vamos a aproximar una función integrable dada, “f”, mediante una combinación lineal de “n” funciones del conjunto {θn(x)}. Para ello escribimos “pn” como como una combinación lineal de “n” de estas funciones:
- pn(x) = ∑(bk θk(x)).
Podremos entonces calcular “En” del modo siguiente:
- En = ∫((f – pn)^2 dx).
- En = ∫((f – ∑(bk θk))^2 dx).
- En = ∫((f^2 + (∑(bk θk))^2 – 2 f ∑(bk θk)) dx).
- En = ∫(f^2 dx) desde “a” hasta “b” + ∫((∑(bk θk))^2 dx) – 2 ∑(bk ∫(f θk dx)).
- En = ∫(f^2 dx) + ∑(bk^2) – 2 ∑(ak bk).
- En = ∫(f^2 dx) + ∑(bk^2 – 2 ak bk).
Ahora bien:
- bk^2 – 2 ak bk = bk^2 – 2 ak bk + ak^2 – ak^2 = (bk – ak)^2 – ak^2.
Por lo tanto:
- En = ∫(f^2 dx) + ∑(ak – bk)^2 – ∑(ak)^2.
Como todos los términos de la suma aparecen elevados al cuadrado, el error “En” cuadrático medio mínimo corresponde a elegir:
- ak = bk.
, y en consecuencia:
- En = ∫(f^2 dx) – ∑(ak)^2.
Como:
- En ≥ 0.
por construcción se cumple que:
- ∫(f^2 dx) ≥ ∑(ak)^2.
Como esta expresión es válida para todo “n” por grande que sea, podemos denominar a esta expresión como laDesigualdad de Bessel.
Puesto que la serie “∑(ak)^2″ es monótona creciente y acotada superiormente, se deduce que es una serie convergente. Una condición necesaria para que la serie sea convergente es que su término general tenga un límite nulo cuando “n→∞”. Por lo tanto deducimos que:
- lin(n→∞) an = 0.
Si la serie de Fourier converge en media a la función “f(x)” tenemos:
- lin(n→∞) En = 0.
Pero como:
- En = ∫(f^2 dx) – ∑(ak)^2.
se verificará la siguiente igualdad cyando la serie converge en media:
- ∫(f^2 dx) = ∑(ak)^2.
, la denominada Identidad de Parseval.
Usando la definición de norma de una función podemos escribir la identidad de Parseval de una manera que nos recuerda el cuadrado de la norma de un vector en un espacio lineal. Comparémosla con la expresión de la norma de un vector en R^3:
- f(x) = ∑(ak θk(x)).
- ¬v = a1 ¬e1 + a2 ¬e2 + a3 ¬e3.
- ||f||^2 = ∑(ak)^2.
- ||¬v||^2 = ∑(ak)^2 desde “k = 1″ hasta “3”.
La serie de Fourier de una función “f” en un intervalo [a, b] converge en media a la función si y solo si se cumple la igualdad anterior. Por otra parte, cuando consideramos una sucesión ortonormal {θn} en el intervalo [a, b], si se cumple que toda función “f” de “R” converge en media a su serie de Fourier respecto a la sucesión {θn}, se dice que {θn(x)} es una sucesión ortonormal completa.
La Serie de Fourier en Forma Compleja:
Vamos a escribir la serie de Fourier de un modo más compacto mediante su extensión al plano complejo. Consideremos una serie de Fourier de una función “f(x)” definida sobre un intervalo simétrico [- L, L]:
- f(x) = a0 / 2 + ∑[an Cos(n π x / L) + bn Sen(n π x / L)].
Siendo:
- an = ∫(f(x) Cos(n π x / L) dx) / L.
- bn = ∫(f(x) Sen(n π x / L) dx) / L.
Si hacemos la extensión al campo complejo:
- e^(i n π x / L) = Cos(n π x / L) + i Sen(n π x / L).
o bien:
- Cos(n π x / L) = [e^(i n π x / L) + e^(- i n π x / L)] / 2.
- Sen(n π x / L) = [e^(i n π x / L) – e^(- i n π x / L)] / 2 i.
Sustituyendo en la serie de Fourier original:
- f(x) = a0 / 2 + ∑[an [e^(i n π x / L) + e^(- i n π x / L)] / 2 + bn [e^(i n π x / L) – e^(- i n π x / L)] / 2 i].
- f(x) = a0 / 2 + ∑[(an / 2 + bn / (2 i)) e^(i n π x / L) + (an / 2 – bn / (2 i)) e^(– i n π x / L)].
- f(x) = a0 / 2 + ∑[(an – i bn) e^(i n π x / L) / 2] + ∑[(an + i bn) e^(– i n π x / L) / 2].
Podemos escribir la serie con un único sumatorio extendido a índices positivos y negativos introduciendo la siguiente notación:
- ck = “(an – i bn) / 2″ y “k = n” si “k > 0″.
- ck = “a0 / 2″ si “k = 0″.
- ck = “(an + i bn) / 2″ y “k = – n” si “k < 0″.
- f(x) = ∑(ck e^(i n π x / L)) desde “-∞” hasta “∞”.
Veamos ahora cómo se calculan los coeficientes “ck” de la serie de Fourier compleja. Los “an” y “bn” vienen dados por:
- an = ∫(f(x) Cos(n π x / L) dx) / L.
- an = ∫(f(x) [e^(i n π x / L) + e^(- i n π x / L)] / 2 dx) / L.
- bn = ∫(f(x) Sen(n π x / L) dx) / L.
- bn = ∫(f(x) [e^(i n π x / L) – e^(- i n π x / L)] / 2 i dx) / L.
Con lo cual los “ck” serán, para:
- k > 0.
- k = n.
- ck = (an – i bn) / 2.
- ck = ∫(f(x) [e^(i n π x / L) + e^(- i n π x / L)] / 2 dx) / (2 L) – ∫(f(x) [e^(i n π x / L) – e^(- i n π x / L)] / 2 dx) / (2 L).
- ck = ∫(f(x) e^(– i n π x / L) dx) / (2L).
Para :
- k < 0.
- k = – n.
- ck = (an + i bn) / 2.
- ck = ∫(f(x) [e^(i n π x / L) + e^(- i n π x / L)] / 2 dx) / (2 L) + ∫(f(x) [e^(i n π x / L) – e^(- i n π x / L)] / 2 dx) / (2 L).
- ck = ∫(f(x) e^(i n π x / L) dx) / (2L).
Para:
- k = 0.
- c0 = ∫(f(x) dx) / (2 L) = a0 / 2.
