Un matemático japonés afirma haber resuelto uno de los problemas más importantes de este campo. El problema es que casi nadie puede descubrir si está en lo cierto.
Durante la mañana del 30 de agosto de 2012, Shinichi Mochizuki publicó discretamente cuatro artículos en su sitio web.
Los artículos eran enormes — más de 500 páginas en total — densamente empaquetados con símbolos, y la culminación de más de una década de trabajo en solitario. También tenía el potencial de ser un bombazo académico.
En ellos, Mochizuki afirmaba haber resuelto la conjetura abc, un problema de hace 27 años sobre la teoría de números que ningún otro matemático había estado siquiera cerca de resolver. Si la demostración era correcta, sería uno de los logros más asombrosos de las matemáticas de este siglo, y revolucionaría completamente el estudio de las ecuaciones con números enteros.
Shinichi Mochizuke Crédito: Paddy Mills
Mochizuki, sin embargo, no creó un gran revuelo con su demostración.
El respetado matemático, que trabaja en en Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas en la Universidad de Kioto (RIMS) en Japón, ni siquiera anunció su trabajo a sus colegas de todo el mundo. Simplemente publicó los artículos, y esperó a que el mundo los descubriera.
Probablemente, la primera persona que advirtió los artículos fue Akio Tamagawa, colega de Mochizuki en el RIMS. Él, como otros investigadores, sabía que Mochizuki había estado trabajando en la conjetura desde hace años y que estaba finalizando su trabajo. Ése mismo día, Tamagawa envió un correo electrónico con las noticias a uno de sus colaboradores, el teórico numérico Ivan Fesenko de la Universidad de Nottingham, en el Reino Unido. Fesenko descargó inmediatamente los artículos y comenzó la lectura. Pero pronto quedó “apabullado”, señala. “Era imposible comprenderlos”.
Fesenko escribió por correo electrónico a algunos de los principales expertos en el campo de Mochizuki, la geometría aritmética, y el rumor de la demostración se extendió rápidamente. En pocos días se inició una intensa charla en los blogs matemáticos y foros en línea (ver Nature http://doi.org/725; 2012). Pero para muchos investigadores, la euforia inicial sobre la demostración, rápidamente se tornó en escepticismo. Todo el mundo, incluso aquellos cuya área de trabajo era más cercana a la de Mochizuki, quedaron tan desconcertados por los artículos como había quedado Fesenko. Para completar la demostración, Mochizuki había inventado una nueva rama de su disciplina, una que era increíblemente abstracta incluso para los estándares de la matemática pura. “Mirándolo, te sentías como si estuvieses leyendo un artículo del futuro, o del espacio exterior”, escribió en su blog el teórico numérico Jordan Ellenberg, de la Universidad de Wisconsin–Madison, pocos días después de la aparición del artículo.
Tres años más tarde, la demostración de Mochizuki permanece en el limbo matemático — ni refutada, ni aceptada por la mayoría de la comunidad. Mochizuki ha estimado que un estudiante graduado en matemáticas necesitaría 10 años para poder comprender su trabajo, y Fesenko cree que incluso un experto en geometría aritmética necesitaría unas 500 horas. Por el momento, sólo 4 matemáticos dicen haber sido capaces de leer la demostración completa.
Otra pieza del enigma es el propio Mochizuki. Por el momento sólo ha dado conferencias sobre su trabajo en Japón, en japonés a pesar de hablar un inglés fluido, ha rechazado las invitaciones para hablar en cualquier otro sitio. No habla con periodistas; varias peticiones para realizar entrevistas sobre este tema quedaron sin respuesta. Mochizuki ha contestado a correos electrónicos de otro matemáticos y ha estado muy comunicativo con los colegas que lo han visitado, pero su única comunicación pública ha sido la publicación esporádica de artículos en su sitio web. En diciembre de 2014, escribió que para comprender su trabajo, era “necesario que los investigadores desactivaran los patrones de pensamiento que tienen instalados en sus cerebros y que han aceptado como válidos durante tantos años”.
Para el matemático Lieven Le Bruyn de la Universidad de Antwerp en Bélgica, la actitud de Mochizuki suena desafiante. “¿Soy yo?”, escribió en su blog a principio de año, “¿o realmente Mochizuki está enseñando su dedo corazón a la comunidad matemática?”.
Ahora, tal comunidad está tratando de poner en orden la situación. En diciembre tendrá lugar el primer taller sobre la demostración fuera de Asia, en Oxford, en el Reino Unido. Mochizuki no estará en persona, pero está dispuesto a responder a las preguntas de los asistentes al taller a través de Skype. Los organizadores esperan que la discusión motive a más matemáticos a invertir tiempo en familiarizarse con sus ideas y, potencialmente, ponerse a favor de Mochizuki.
En su último informe de verificación, Mochizuki escribió que el estado de su teoría respecto a la geometría aritmética “constituye una especie de fiel modelo en miniatura del estado de las matemáticas puras en la sociedad humana”.
El problema al que se enfrenta al comunicar un trabajo abstracto a sus propios pares se asemeja al reto al que los matemáticos en conjunto se enfrentan al comunicar sus tareas al resto del mundo.
Importancia primordial
La conjetura abc se refiere a las expresiones numéricas del tipo a + b = c.
El enunciado, que aparece en versiones ligeramente distintas, concierne a los números primos que dividen cada una de las cantidades a, b y c.
Cada número entero, puede expresarse esencialmente de una forma única como producto de números primos — aquellos que no pueden factorizarse en número enteros más pequeños, 15 = 3 × 5 ó 84 = 2 × 2 × 3 × 7.
En principio, los factores primos de a y b no tienen conexión con aquellos de su suma, c.
Pero la conjetura abc los vincula a todos entre sí. Supone, aproximadamente, que si una gran cantidad de pequeños números primos dividen a a y b entonces sólo unos pocos números primos grandes dividen a c.
Esta posibilidad se mencionó por primera vez en 1985, en una improvisada observación sobre un conjunto concreto de ecuaciones, realizada por el matemático francés Joseph Oesterlé durante una charla en Alemania.
Sentado entre la audiencia estaba David Masser, un colega teórico numérico, actualmente en la Universidad de Basilea, en Suiza, quien reconoció la potencial importancia de la conjetura y, más tarde, la publicó de un modo más general. Actualmente se acredita a ambos, y se conoce como la conjetura de Oesterlé–Masser.
Unos años más tarde, Noam Elkies, matemático de la Universidad de Harvard en Cambridge, Massachusetts, se dio cuenta de que la conjetura abc, de ser cierta, tendría profundas implicaciones para el estudio de las ecuaciones que conciernen a los números enteros — también conocidas como ecuaciones diofánticas, por Diofanto, el matemático de la antigua Grecia que las estudió por primera vez.
Elkies encontró que una demostración de la conjetura abc solucionaría de una tacada una enorme cantidad de famosas ecuaciones diofánticas sin resolver. Esto se debe a que colocaría límites explícitos al tamaño de las soluciones.
Por ejemplo, abc podría demostrar que todas las soluciones a una ecuación deben ser menores que 100. Para encontrar esas soluciones, todo lo que tendría que hacerse es probar todos los números desde 0 a 99 y calcular cuál funciona. Sin abc, por contra, habría una cantidad infinitamente grande de números a probar.
El trabajo de Elkies significaba que la conjetura abc podría reemplazar al mayor avance en la historia de las ecuaciones diofánticas: la confirmación de una conjetura formulada en 1922 por el matemático estadounidense Louis Mordell, quien dijo que la gran mayoría de ecuaciones diofánticas, o bien no tenía solución, o tenía un número finito de soluciones.
Dicha conjetura se demostró en 1983 por parte del matemático alemán Gerd Faltings, por entonces de 28 años, y que a los tres años de la demostración logró la Medalla Fields, el galardón más preciado en las matemáticas, por dicho trabajo. Pero, si abc es cierta, no sólo sabes cuántas soluciones existen, señala Faltings, “sino que puedes conocerlas todas”.
Poco después de que Faltings resolviera la conjetura de Mordell, empezó a dar clases en la Universidad de Princeton en Nueva Jersey — y a no mucho tardar, su camino se cruzaría con el de Mochizuki.
Nacido en 1969 en Tokio, Mochizuki pasó sus años de formación en los Estados Unidos, donde se mudó su familia cuando era niño. Asistió a un exclusivo instituto en Nueva Hampshire, y su precoz talento le valió una plaza de estudiante en el departamento de matemáticas de Princeton cuando apenas tenía 16 años. Rápidamente se convirtió en una leyenda por su original forma de pensar, y pasó directamente al doctorado.
La gente que conoce a Mochizuki lo describe como una criatura de costumbres, con una capacidad casi sobrenatural para concentrarse. “Desde que era un estudiante, simplemente se levanta y trabaja”, dice Minhyong Kim, matemático de la Universidad de Oxford, en el Reino Unido, que conoce a Mochizuki desde sus días de Princeton. Tras asistir a un seminario o coloquio, los investigadores y estudiantes a menudo salen juntos a tomar una cerveza — pero Mochizuki no, recuerda Kim. “No es introvertido por naturaleza, sino que está mucho más centrado en sus matemáticas”.
Faltings fue el asesor de Mochizuki para su trabajo de grado y tesis doctoral, y pudo ver que Mochizuki sobresalía. “Estaba claro que era uno de los más brillantes”, señala. Pero ser estudiante de Faltings no podía ser fácil. “Faltings estaba en la cima en la colina de la intimidación”, recuerda Kim. Se abalanzaba sobre los errores, y cuando le hablaban, incluso los matemáticos más eminentes a menudo se aclaraban nerviosamente sus gargantas.
La investigación de Faltings tenía una influencia enorme en mucho jóvenes teóricos numéricos en universidades de toda la costa este de Estados Unidos. Su área de trabajo era la geometría algebraica, que desde la década de 1950 se había transformado en un campo teórico y altamente abstracto debido al trabajo de Alexander Grothendieck — a menudo descrito como el matemático más importante del siglo XX. “Comparado con Grothendieck”, señala Kim, “Faltings no tenía tanta paciencia para la filosofía”. Su estilo de matemáticas requería “una gran cantidad de conocimiento abstracto de fondo — pero también tendía a tener un objetivo para cada problema concreto. El trabajo de Mochizuki sobre abc hace exactamente esto”.
Una mente de único sentido
Tras su doctorado, Mochizuki pasó dos años en Harvard y en 1994 se mudó a su Japón natal, a la edad de 25 años, a un puesto en el RIMS. Aunque había vivido durante años en los Estados Unidos, “de algún modo se sentía incómodo con la cultura estadounidense”, apunta Kim. Y, añade, crecer en un país diferente puede haber agravado el sentimiento de aislamiento que aparece al ser un niño con grandes dotes matemáticas. “Creo que sufrió un poco”.
Mochizuki prosperó en el RIMS, que no impone a los miembros de su plantilla la obligación de dar clase a los estudiantes. “Fue capaz de trabajar por sí mismo durante 20 años sin perturbaciones externas”, explica Fesenko. En 1996, aumentó su reputación internacional cuando resolvió una conjetura enunciada por Grothendieck; y en 1998, dio una charla como invitado en el Congreso Internacional de Matemáticas en Berlín — el equivalente, en esta comunidad, a un ingreso en el Salón de la Fama.
Pero incluso mientras que Mochizuki conseguía respeto, se iba alejando de la corriente principal. Su trabajo estaba alcanzando mayores niveles de abstracción y escribía artículos cada vez más impenetrables para sus colegas. A principios de la década de 2000 dejó de aventurarse en reuniones internacionales, y los colegas dicen que raramente abandona la prefectura de Kioto. “Requiere un tipo especial de devoción para ser capaz de enfocarse durante un periodo de muchos años sin tener colaboradores”, señala el teórico numérico Brian Conrad de la Universidad de Stanford en California.
Mochizuki mantuvo el contacto con sus compañeros de la teoría de números, quienes supieron que finalmente estaba trabajando en la conjetura abc.
Casi no tenía competencia: la mayor parte del resto de matemáticos se había retirado del problema, considerándolo irresoluble. A principios de 2012, volaban los rumores sobre que Mochizuki estaba cerca de una demostración. Luego llegaron las noticias de agosto: había publicado sus artículos en línea.
El mes siguiente, Fesenko se convirtió en la primera persona fuera de Japón en hablar con Mochizuki sobre el trabajo que había desvelado tan sutilmente. Fesenko ya se encontraba allí visitando a Tamagawa, por lo que también fue a ver a Mochizuki. Los dos se reunieron un sábado en el despacho de Mochizuki, una espaciosa sala que ofrecía una vista del cercano Monte Daimonji y con un conjunto de libros y papeles pulcramente colocados. Es “el despacho más ordenado de cualquier matemático que haya visto en toda mi vida”, comenta Fesenko. Cuando los dos matemáticos se sentaron en los sillones de piel, Fesenko acribilló a Mochizuki con preguntas sobre su trabajo y qué podría pasar luego.
Fesenko dice que advirtió a Mochizuki de que fuese consciente de la experiencia de otro matemático: el topólogo ruso Grigori Perelman, que saltó a la fama en 2003 tras resolver la conjetura de Poincaré, un problema de un siglo de antigüedad (ver Nature 427, 388; 2004) y luego se retiró y se separó cada vez más de sus amigos, colegas, y el mundo exterior. Fesenko conoció a Perelman, y vio que las personalidades de ambos matemáticos eran muy distintas. Mientras que Perelman era conocido por sus torpes habilidades sociales (y por dejar crecer sus uñas), Mochizuki es universalmente descrito como elocuente y amistoso — aunque intensamente celoso de su vida fuera del trabajo.
Normalmente, después de que se anuncie una gran demostración, los matemáticos leen el trabajo — que normalmente tiene unas páginas de extensión — y pueden comprender la estrategia general.
Ocasionalmente, las demostraciones son más largas y complejas, y pueden pasar años antes de que los principales especialistas las revisen por completo y alcancen el consenso de que son correctas. El trabajo de Perelman sobre la conjetura de Poincaré se aceptó de esta forma.
Incluso en el caso del trabajo increíblemente abstracto de Grothendieck, los expertos fueron capaces de relacionar la mayor parte de sus nuevas ideas con objetos matemáticos con los que estaban familiarizados. Entonces, normalmente, una revista publica la demostración.
Pero casi todos los que ha abordado la demostración de Mochizuki han quedado anonadados. Algunos quedaron desconcertados por el lenguaje generalizador – casi mesiánico – con el que Mochizuki describe algunas de sus nuevas instrucciones teóricas: incluso ha dado un nombre al campo que ha creado: ‘geometría inter-universal’. “Generalmente, los matemáticos son muy humildes, no afirman que lo que han hecho sea una revolución de todo el universo”, señala Oesterlé, en la Universidad Pierre y Marie Curie en París, quien hizo pocos progresos al revisar la demostración.
La razón es que el trabajo de Mochizuki está muy lejos de cualquier cosa que se haya intentado antes. Está intentando reformar las matemáticas desde su base, empezando por sus cimientos en la teoría de conjuntos (que nos es familiar a muchos por los diagramas de Venn).
Y la mayoría de matemáticos no está dispuesto a invertir el tiempo necesario para comprender el trabajo porque no ven una clara recompensa: no es obvio cómo la maquinaria teórica que Mochizuki ha inventado podría usarse para realizar cálculos. “Intenté leer parte de ellos y luego, en cierto punto, me rendí. No entendía lo que estaba haciendo”, admite Faltings.
Fesenko ha estudiado el trabajo de Mochizuki en detalle a lo largo del último año, lo visitó de nuevo en el RIMS en otoño de 2014, y dice que ahora ha verificado la demostración. (Los otros tres matemáticos que dicen haber corroborado el trabajo también pasaron un tiempo considerable trabajando junto a Mochizuki en Japón). El tema predominante de la geometría inter-universal, como lo describe Fesenko, es uno que debe dar una visión totalmente diferente a los números enteros — dejando a un lado la suma y viendo la estructura de la multiplicación como algo maleable y deformable. La multiplicación estándar sería entonces un caso particular de una familia de estructuras, del mismo modo que un círculo es un caso especial de una elipse. Fesenko dice que Mochizuki se compara a sí mismo con el gigante de las matemáticas Grothendieck — y no es una afirmación exagerada. “Tenemos matemáticas antes del trabajo de Mochizuki — y ahora tenemos matemáticas después de su trabajo”, dice Fesenko.
Pero, por el momento, los pocos que han comprendido el trabajo han tenido problemas para explicarlo al resto. “Todos aquellos de los que soy consciente de que se han acercado a este trabajo son gente muy sensata, pero después son incapaces de comunicarlo”, explica un matemático que no quiso que se mencionara su nombre. La situación, señala, nos recuerda a la escena de los Monty Python sobre un escritor que anota el chiste más divertido del mundo. Todo el que la lee muere de la risa, y nunca puede contárselo a otro.
Y esto, dice Faltings, es un problema. “No es suficiente con tener una buena idea: tienes que ser capaz de explicársela a otros”. Faltings dice que si Mochizuki quiere que se acepte su trabajo, entonces debería contactar con más gente. “La gente tiene derecho a ser tan excéntrica como quiera”, explica. “Si no quiere viajar, no tiene obligación de hacerlo. Si quiere reconocimiento, tiene que comprometerse”.
Al borde de la razón
Para Mochizuki, las cosas podría empezar a cambiar a finales de este año, cuando el Instituto Clay de Matemáticas albergará el ampliamente esperado taller en Oxford. Se espera que asistan las principales figuras del campo, incluyendo a Faltings. Kim, que junto a Fesenko es uno de los organizadores, dice que unos días de ponencias no serán suficientes para exponer toda la teoría. Pero, comenta, “con suerte, al final del taller suficiente gente quedará convencida para trabajar más en la lectura de la demostración”.
La mayoría de matemáticos espera que se tarden muchos años en encontrar alguna resolución. (Mochizuki ha dicho que ha enviado sus artículos a una revista donde, presumiblemente, están bajo revisión). Finalmente, según esperan los investigadores, alguien será capaz no sólo de comprender el trabajo, sino de hacerlo comprensible para otros — el problema es que pocos quieren ser esa persona.
Mirando al futuro, los investigadores creen que es improbable que futuros problemas abiertos sean tan complejos e intratables. Ellenberg señala que los teoremas son, por norma, fáciles de enunciar en nuevos campos matemáticos, y las demostraciones son bastante cortas.
La cuestión ahora es si la demostración de Mochizuki caerá hacia el lado de la aceptación, como la de Perelman, o encontrará un destino diferente. Algunos investigadores ven una historia que puede servir de advertencia en Louis de Branges, un matemático de sólida carrera en la Universidad de Purdue en West Lafayette, Indiana. En 2004, de Branges publicó una supuesta solución a la hipótesis de Riemann, que muchos consideran el problema abierto más importante de las matemáticas. Pero los matemáticos se mantuvieron escépticos sobre dicha afirmación; muchos decían perder el interés debido a sus teorías poco convencionales y su idiosincrático estilo de escritura, y la demostración ha quedado fuera de la vista.
Para el trabajo de Mochizuki, “no es todo o nada”, comenta Ellenberg.
Incluso si la demostración de la conjetura abc no funciona, sus métodos e ideas podría aún filtrarse a la comunidad matemática, y los investigadores podrían encontrarlos útiles para otros propósitos.
“Creo, basándome en mi conocimiento de Mochizuki, que la probabilidad de que haya unas matemáticas importantes o interesantes en esos documentos es muy alta”, señala Ellenberg.
Pero aún existe el riesgo de que pueda ser de otra forma, añade. “Creo que sería muy malo si simplemente nos olvidamos de él. Sería triste”.
Referencias
Nature 526, 178–181 (08 October 2015) doi:10.1038/526178a
