lunes, 30 de noviembre de 2015

Carnaval Matemáticas: El producto vectorial en un espacio euclidiano de 7 dimensiones

Dibujo20121222 cross product in dimension seven

El producto vectorial, que a partir de dos vectores nos da un tercer vector, es bien conocido en un espacio de tres dimensiones. 
¿Se puede definir un producto vectorial en más de tres dimensiones?
 Beno Eckmann demostró en 1943 usando topología algebraica que el producto vectorial en dicho caso solo existe en siete dimensiones. 
De hecho, la relación entre el producto vectorial en siete dimensiones y los octoniones es la misma que entre el tridimensional y los cuaterniones; hay una relación íntima entre las propiedades del producto vectorial y el teorema 1,2,4,8 de Adolf Hurwitz (1898). 
Se han publicado varias demostraciones más sencillas que la de Eckmann, pero destaca la más reciente, Peter F. McLoughlin, “When does a cross product on R^{n} exist?,” arXiv:1212.3515 (que agradece los comentarios y revisión del experto español Alberto Elduque). 
La nueva demostración se puede calificar de “elemental” y por tanto se puede incorporar en un primer curso de álgebra lineal y geometría.
Sean u, v, widetilde{v}, y widetilde{w} vectores en textbf{R}^{3}, y sean a, b, c, y d números reales. Las propiedades del producto vectorial que caracterizan cómo se relaciona con el producto escalar son las siguientes:
(i) displaystylefrac{(ucdot v)}{(ucdot u)(vcdot v)}=cos theta 
(donde theta es el ángulo formado por los vectores).
(ii) displaystylefrac{left|(utimes v)right|}{(ucdot u)(vcdot v)}=sin theta.
(iii) ucdot(utimes v)=0 y vcdot(utimes v)=0 (propiedad de perpendicularidad).
(iv) (utimes v)cdot (utimes v)+(ucdot v)^{2}=(ucdot u)(vcdot v) (propiedad pitagórica).
(v) ((au+bwidetilde{u})times (cv+dwidetilde{v}))=ac(utimes v)+ad(utimes widetilde{v})+bc(widetilde{u}times v)+bd(widetilde{u}times widetilde{v}).
(vi) ((au+bwidetilde{u})cdot (cv+dwidetilde{v}))=ac(ucdot v)+ad(ucdot widetilde{v})+bc(widetilde{u}cdot v)+bd(widetilde{u}cdot widetilde{v}).
En tres dimensiones, la definición del producto vectorial es muy bien conocida. Si A es una matriz cuadrada y left|Aright| es su determinante, tomando en componentes u=(x_{1},x_{2},x_{3}) y v=(y_{1},y_{2},y_{3}) se puede escribir
ucdot v=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3},
¿Se puede extender el producto vectorial a textbf{R}^{n} con n>3. Hay muchas maneras de hacerlo si solo exigimos las propiedades (iii), (v) y (vi). Sin embargo, si exigimos también la propiedad pitagórica (iv), entonces solo se puede lograr en dimensión 7.
 Un producto vectorial que cumpla las propiedades (i)-(vi) solo existe en las dimensiones 1, 3 y 7.
 La tabla que abre esta entrada define el único producto vectorial en dimensión 7.
La demostración que aparece en el artículo de McLoughlin es breve y sencilla de entender para cualquiera que haya superado un curso de álgebra lineal y geometría. 
La clave de la demostración es que si un producto vectorial existe en textbf{R}^{n}, entonces siempre se puede encontrar una base ortonormal {e_{1},e_{2}ldots e_{n}} tal que para todo ineq j existe un ktal que e_{i}times e_{j}=ae_{k}, con a=1, o -1.
La demostración parte del siguiente lema. 
Si un producto vectorial existe en textbf{R}^{n}entonces debe cumplir que:
(1.1) wcdot(utimes v)=-ucdot(wtimes v).
(1.2) utimes v=-vtimes u lo que implica que utimes u=0.
(1.3) vtimes(vtimes u)=(vcdot u)v-(vcdot v)u.
(1.4) wtimes(vtimes u)=-((wtimes v)times u)+(ucdot v)w+(wcdot v)u-2(wcdot u)v.
(1.5) utimes(utimes v)=-v.
(1.6) wtimes(vtimes u)=-((wtimes v)times u).
La demostración es sencilla y se puede encontrar en muchos libros de texto (se incluye en el fichero tex del artículo de McLoughlin, pero ha sido comentada (%) y no aparece en la versión en pdf).
Utilizando estas propiedades se demuestra que si el producto vectorial tiene que portarse bien al ser aplicado a una base ortonormal, entonces la dimensión de esta base debe ser n=2^{k+1}-1. 
Sin embargo, la propiedad pitagórica no se cumple para kgeq 3, con lo que los únicos espacios euclidianos textbf{R}^{n} en los que existe un producto vectorial tienen n=1, 3, o 7.
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