La función xx = exp(x log(x)), como función real de variable real, tiene como dominio x≥0 (parte derecha de la figura) y para extenderla a toda la recta real se recomienda usar |x||x|= exp(|x| log(|x|)), que es continua, pero no diferenciable, en el punto x=0 (parte izquierda de la figura).
¿Cuál es la derivada de la función y=xx respecto de x?
Por supuesto, no es x·xx−1. Aplica logaritmos log(y)=x log(x), deriva ambos miembros y’/y = log(x)+1, y, voilà, ya tienes el resultado: y’ = xx (log(x)+1).
Lo sé, lo sé, he hecho spoiler, tú mismo hubieras obtenido este resultado sin mi ayuda. ¿Te atreves a derivar la función y=f(x)g(x) respecto de x?
Como es obvio por su definición, la función xx crece muy rápido, incluso más rápido que el factorial xx > x! > exp(x), para x grande.
¿Te atreves a calcular el valor mínimo de la función xx y para qué valor positivo de x se alcanza? Y ya que estamos jugando con derivadas, ¿te atreves a calcular el valor mínimo de la función |x||x| y para qué valor negativo de x se alcanza?
La función W(x) de Lambert se define como la función inversa de la función
y = x ex, es decir, x = W(y). No sé si has jugado alguna vez con esta función. Aplicando logaritmos se maneja con cierta soltura.
Te propongo un último reto, el más difícil. ¿Serías capaz de calcular la función inversa de y = xx usando la función W de Lambert?
Ayuda: la respuesta es una expresión sencilla del logaritmo y de la función W de Lambert.
