Sin cierta dosis de locura,
nadie puede creer firmemente estar en posesión de la verdad,
puesto que creer en la verdad
es precisamente locura.
nadie puede creer firmemente estar en posesión de la verdad,
puesto que creer en la verdad
es precisamente locura.
Nietzsche
Kurt Gödel fue un lógico, matemático y filósofo austriaco-americano, reconocido como uno de los más importantes de todos los tiempos.
Su trabajo ha tenido un inmenso impacto en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel, al igual que otros pensadores como Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática.
Se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.
El más célebre de sus teoremas dice que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales, existen proposiciones verdaderas que no pueden demostrarse a partir de los axiomas.
Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, el cual codifica expresiones formales como números naturales.
En 1931 Gödel publicó sus célebres teoremas de la incompletitud en "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" ("Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados").
En dicho artículo postuló que para todo sistema axiomático computable que sea lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (por ejemplo los axiomas de Peano), se deduce que:
1-Si el sistema es consistente no puede ser completo. (A esto generalmente se le conoce como el teorema de incompletitud.)
2-La consistencia de los axiomas no puede demostrarse desde el interior del sistema.
Estos teoremas finalizaron con medio siglo de intentos académicos (comenzando con el trabajo de Frege y culminando en los Principia Mathematica y en el formalismo de Hilbert) por encontrar un conjunto de axiomas suficiente para toda la matemática.
La idea básica del teorema de la incompletitud es más bien simple. Esencialmente Gödel construyó una fórmula que asegura ser no-demostrable para cierto sistema formal. Si fuera demostrable sería falsa, lo cual contradice el hecho de que en un sistema consistente las proposiciones demostrables son siempre verdaderas. De modo que siempre habrá por lo menos una proposición verdadera pero no demostrable.
Esto es, para todo conjunto de axiomas de la aritmética construible por el hombre existe una fórmula la cual se obtiene de la aritmética pero es indemostrable en ese sistema.
Sin embargo, para precisar esto Gödel necesitaba resolver varias cuestiones técnicas, tales como proposiciones de codificación y el concepto mismo de demostrabilidad en la teoría de los números naturales.
Esto último lo realizó mediante un proceso denominado numeración de Gödel.
Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración, al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal. También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes.
Nació el 28 de abril de 1906 en Brno, Austria-Hungría (ahora República Checa) y murió el 14 de enero de 1978 en Princeton, New Jersey.
verdad.
(Del lat. verĭtas, -ātis).
1. Conformidad de las cosas con el concepto que de ellas forma la mente.
2. Conformidad de lo que se dice con lo que se siente o se piensa.
3. Propiedad que tiene una cosa de mantenerse siempre la misma sin mutación alguna.
4. Juicio o proposición que no se puede negar racionalmente.
axioma.
(Del lat. axiōma, y este del gr. ἀξίωμα).
1. Proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración.
2. Mat. Cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría.
teorema.
(Del lat. theorēma, y este del gr. θεώρημα).
1. Proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptada
