El conjunto fractal de Cantor no existe en la Naturaleza pues presenta autosemejanza a todas las escalas. Sólo existen prefractales de Cantor, que muestran autosemejanza hasta cierta escala finita.
En física e ingeniería se usan como modelo para estudiar sistemas cuasiperiódicos, que no son periódicos, pero tampoco aleatorios.
Por ejemplo, para estudiar la propagación de cuasipartículas electrónicas en superredes semiconductoras y en superredes de grafeno con una estructura cuasiperiódica.
La idea es colocar una hoja de grafeno sobre una estructura multicapa alternada formada por dos materiales (normalmente SiO2 y SiC), llamada superred.
Las cuasipartículas (ondas de electrones) en el grafeno se mueven sometidas a un potencial eléctrico generado por la multicapa (cuando entre sus extremos se aplica una diferencia de potencial).
El caso más sencillo son las superredes periódicas, pero también se ha propuesto el uso de superredes prefractales basadas en el conjunto de Cantor.
Sobre superredes fractales de grafeno recomiendo Lifeng Sun et al., “Transport properties through graphene-based fractal and periodic magnetic barriers,” Journal of Physics: Condensed Matter 22: 445303 (2010), doi: 10.1088/0953-8984/22/44/445303; J.S. Ardenghi et al., “Electronic properties of Cantor random box distribution of impurities in graphene,” Superlattices and Microstructures 89: 398–408 (2016), doi:10.1016/j.spmi.2015.11.033.
Como puedes ver en la figura que abre esta entrada la construcción de un prefractal de Cantor es muy sencilla.
Se parte de un segmento de longitud unidad (n = 0) que se divide en tres trozos de longitud 1/3, descartando el trozo central (n = 1).
Este proceso se repite una vez más con ambos trozos (n=2), dando lugar a cuatro trozos de longitud 1/9. Y así sucesivamente, en el paso n-ésimo obtenemos 2n trozos de longitud 1/3n con 2n−1 entre ellos.
Consulta la figura y donde se compara el prefractal n=4 con una estructura periódica también a n=4.
La superred sobre la que se encuentra la hoja de grafeno actúa como una distribución de pozos de potencial para las ondas de electrones en el grafeno (bajo la hipótesis de que su longitud de onda es mucho menor que la anchura de los pozos).
Usando la formulación matemática que describe la incidencia de una partícula cuántica en una barrera de potencial, pero aplicada de forma reiterativa para toda la superred se obtiene el coeficiente de reflexión y el de transmisión para toda la estructura. Los cálculos son sencillos, basta multiplicar matrices de 2×2 en el caso no relativista y matrices de 4×4 en el caso relativista (recuerda que en grafeno se propagan fermiones de Dirac sin masa).
Omito los detalles (los matemáticos interesados que lean esto pueden consultar los artículos que cita arriba).
El resultado es un matriz de dispersión (scattering), producto de 2n+1 matrices, a partir de la cual se puede obtener el coeficiente de reflexión y de transmisión de las cuasipartículas en el grafeno.
Estas ondas se mueven con cierto ángulo respecto a las capas de la superred, siendo 0º el movimiento transversal respecto a las capas, −90º el movimiento longitudinal hacia la izquierda y +90º el movimiento longitudinal hacia la derecha.
Los fermiones de Dirac sin masa muestran la llamada paradoja de Klein, el efecto túnel es perfecto para un ángulo de incidencia normal al pozo de potencial, es decir, el coeficiente de transmisión es exactamente igual a la unidad. Para la superred esta propiedad se observa para el ángulo 0º.
Esta figura muestra los resultados para el coeficiente de transmisión entre −90º y +90º para la superredes fractales (f2, f3, f4) y para la superredes periódicas (p2, p3, p4).
Sin entrar en más detalles técnicos, observarás que hay ciertos ángulos que tienen transmisión perfecta (T=1, R=0), no reflejan nada, y otros para los que se da reflexión perfecta (T=0, R=1), todo se refleja.
Para dichos ángulos la hoja de grafeno sobre la superred se comporta como un filtro que deja pasar o impide el paso de las ondas que tiene ciertos ángulos. Esto permite diseñar dispositivos para el control de las ondas de electrones en el grafeno en función de los ángulos de incidencia.
¿Para qué puede servir todo esto?
Poder controlar si una onda pasa o no pasa por cierto lugar, o si se refleja con cierto ángulo o no se refleja, permite diseñar dispositivos con grafeno similares a las puertas lógicas que usan en los microprocesadores.
Todavía estas ideas están en una fase muy primitiva, pues colocar una hoja de grafeno sobre una superred sin que presente pliegues y otros defectos es muy difícil.
Pero quien sabe, quizás algún día sea posibles fabricar con éxito estos dispositivos y las superredes fractales logren un nicho de mercado.
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