alquimiayciencias: Proyección Estereográfrica...

Sea un punto , que llamaremos

centro de proyección,

en la superficie de una esfera y sea un plano, que llamaremos

plano de proyección,

paralelo al plano tangente a la esfera en .

La proyección estereográfica hace corresponder a cada punto $\alpha$ de la esfera, distinto de , el punto que es intersección de la recta $P\alpha$ con el plano.

Recíprocamente a cada punto del plano le corresponde

el único punto $\alpha$ , distinto de ,

que es la intersección de la esfera con la recta .

La proyección estereográfica es usada en el “Planisferio” de Ptolomeo

para proyectar en el plano la esfera celeste,

y en ella está basado el astrolabio.

La proyección estereográfica tiene las siguientes propiedades:

Las circunferencias sobre la superficie de la esfera
que pasan por el centro de la proyección se proyectan sobre rectas en el plano de proyección y viceversa.

Las circunferencias sobre la superficie de la esfera que no pasan por el centro de la proyección se proyectan sobre circunferencias en el plano de proyección y viceversa.

Es conforme, lo que quiere decir que si dos curvas sobre la superficie de la esfera se cortan en un determinado ángulo, sus proyecciones se cortan en el mismo ángulo.

El funcionamiento del astrolabio se basa en la segunda propiedad, que era seguramente conocida por Apolonio, aunque la demostración más antigua que se conserva está en el tratado Sobre el Astrolabio de Al-Farghani (Alfraganus), hacia el 856 d.C.

La tercera propiedad no era aparentemente conocida en la antigüedad,

y la primera demostración publicada (en 1696) se debe a Halley.

A continuación demostramos esas propiedades.

Secciones circulares del cono oblicuo

Un cono oblicuo es la figura generada por las rectas trazadas

desde un punto (vértice del cono) a una circunferencia (base del cono),

donde el vértice no está en el plano de la circunferencia ni

en la perpendicular a ese plano por el centro de la circunferencia.

Llamamos triángulo axial del cono oblicuo a la intersección del cono

con el plano perpendicular a la base que pasa por el centro de la base

y el vértice del cono

(es decir, es la intersección del cono con el plano de simetría de la figura).

La proposición 5 del libro I de las Cónicas de Apolonio de Perga dice:

Si un cono oblicuo es cortado por un plano perpendicular al triángulo axial $\triangle ABC$ , cortando en éste del lado del vértice un triángulo $\triangle AGF$ semejante al tríángulo axial, pero dispuesto de forma contraria, la sección que ese plano corta en el cono es un círculo.

Por dispuesto de forma contraria debemos entender que, en la figura, $\angle ABC = \angle AGF$ y $\angle ACB = \angle AFG$ . Hoy diríamos que el plano corta en el triángulo axial una recta antiparalela al diámetro de la base.

Sea un punto cualquiera de la sección . El plano paralelo a la base que pasa por corta al triángulo axial en un segmento y al cono en un círculo , por la proposición I.4 de las Cónicas.

Si es la intersección de , entonces es perpendicular al triángulo axial, y como es un círculo de diámetro , por Euclides II.14 tenemos $HK^2 = DK \cdot KE$ .

Como $\angle AED = \angle AFG$ , $\triangle GEK$ es semejante

a $\triangle DFK$ , y $DK \cdot KE = FK \cdot KG$ .

Pero entonces $HK^2 = FK \cdot KG$ y por Euclides II.14,

está en una circunferencia de diámetro .

Por tanto la sección es un círculo, como queríamos demostrar.

En la proposición I.9, Apolonio demuestra que las únicas secciones

del cono oblicuo que producen círculos son las descritas

en las proposiciones I.4 (las parelelas a la base) y I.5 (las antiparalelas).

La proyección de una circunferencia

Supongamos que, en una proyección estereográfica, el plano de proyección

es tangente a la esfera en el punto opuesto al centro de la proyección.

Una circunferencia en la esfera que no pase por forma con el centro de la proyección un cono oblicuo, cuya base es la circunferencia

y cuyo vértice es .

El plano del triángulo axial de ese cono corta a la esfera en un círculo máximo , a la circunferencia en y , y a la proyección de esa circunferencia en y .

Como está en el plano tangente a la esfera en , $\angle ATC$ es recto, y como es un diámetro de la circunferencia , $\angle AGT$ es recto.

Entonces $\triangle ACT$ es semejante a $\triangle ATG$

y $\angle ACT = \angle ATG$ .

Pero $\angle ATG = \angle AFG$ , porque los dos subtienden el mismo arco en la circunferencia , y por tanto $\angle ACT = \angle AFG$ y los segmentos y

son antiparalelos respecto a .

Entonces, por la proposición I.5 de las Cónicas, la circunferencia en la esfera se proyecta en una circunferencia en el plano de proyección.

Usando este resultado no es difícil demostrar el recíproco, es decir,

que a una circunferencia en el plano le corresponde en la proyección estereográfica una circunferencia en la esfera.

Por otro lado, las circunferencias sobre la superficie de la esfera que pasan por se proyectan sobre rectas en el plano de proyección, que son la intersección de ese plano con los planos en que están esas circunferencias. Y a cada recta en el plano de proyección le corresponde la circunferencia en la esfera que es el resultado de cortar la esfera con el plano que contiene al punto y a la recta.

La proyección estereográfica conserva los ángulos

Sea el centro de proyección, un punto en la esfera y

dos tangentes a la esfera en .

El plano , que contiene al punto y a la recta , corta en la esfera

una circunferencia que pasa por y por .

La tangente a esa circunferencia en es la recta , pues toca a la circunferencia y está en el mismo plano, y, por lo mismo la tangente $m^{\prime\prime}$ a esa circunferencia en es la intersección del plano con el plano tangente a la esfera en .

La proyección desde de la recta es la intersección $m^{\prime}$ del plano y del plano de proyección, y será paralela a $m^{\prime\prime}$ , porque el plano de proyección es paralelo al plano tangente a la esfera en .

De la misma forma el plano corta una circunferencia en la esfera, una tangente $n^{\prime\prime}$ a esa circunferencia en el plano tangente en , y una recta $n^{\prime}$ en el plano de proyección.

El ángulo que forman en es el mismo que el que forman las tangentes $m^{\prime\prime}$ y $n^{\prime\prime}$ en , pues esas rectas son tangentes a las circunferencias en los puntos de intersección de las circunferencias y el ángulo de intersección es el mismo en los dos puntos.