La cuestión de si los decimales de pi (o de cualquier otro numero trascendente en general) podrían contener
todo lo que el mono es capaz de escribir.
Uno podría inventarse una codificación de las letras, de manera que una secuencia de letras se convierta en una secuencia de números.
Por ejemplo, si definimos la sencilla relación
a=01, b=02, c=03, d=04, l=12, o=16..
encontramos que la palabra "blog" se puede escribir como 02121607
Si encontramos en los decimales de pi la secuencia "02121607"
diríamos que pi tiene escrita la palabra "blog".
A partir de este punto, y aplicando el razonamiento del mono, parece que podríamos llegar a la conclusión de que toda la información del universo (y algo más) está contenida en los decimales de pi, dado que pi posee infinitos decimales.
Pero hay una trampa...
Pero hay una trampa...
Nuestro razonamiento se realizó bajo la suposición de que el mono escribía aleatoriamente, en todo momento existía la misma probabilidad de que pulsase cada tecla.
En los decimales de pi, y usando nuestro anterior código,
esto se traduce en que cada pareja de decimales desde 00 hasta 99 tenga
la misma probabilidad de aparecer*
.¿Es ésto cierto?
¿Por qué deberíamos suponer que los decimales de pi son aleatorios?
A fin de cuentas, pi tiene su origen en la geometría, no en la estadística,
no tiene por qué tener una distribución uniforme de decimales.
Así que esta tarde decidí resolver la cuestión por la fuerza.
He puesto al programa Mathematica a hacer un recuento de los
40000 primeros decimales de pi.
Ayer hice lo mismo, pero al final descubrí un error en la programación
que lo manda todo al frezzer.
Hoy lo he intentado de nuevo, con el error corregido.
Al acabar, me dará una lista de diez números, cada uno representando
el número de veces que han aparecido los números 1,2,3...
en los 40000 primeros decimales de pi.
Si los decimales de pi son realmente aleatorios, los 10 valores deberían
ser iguales, en torno a 4000 cada uno.
Si no lo son, puede significar o que los decimales de pi no son aleatorios,
o que sencillamente necesitamos una muestra más grande
para el experimento (necesitamos un mayor numero de decimales).
Estoy esperando a que acabe...
Bien! Por fín tengo el resultado!
Bien! Por fín tengo el resultado!
Y un bonito histograma que da una idea bastante gráfica del asunto:
Ahora, unos cuantos números:
-Nº de veces que aparece el uno:4060--10'2%
-Nº de veces que aparece el dos:3892--9'7%
-Nº de veces que aparece el tres:3971--10%
-Nº de veces que aparece el cuatro:4014--9'9%
-Nº de veces que aparece el cinco:4040--10'1%
-Nº de veces que aparece el seis:4026--10'1%
-Nº de veces que aparece el siete:3977--9'9%
-Nº de veces que aparece el ocho:4032--10'1%
-Nº de veces que aparece el nueve:3998--10%
-Nº de veces que aparece el cero:3989--9'9%
Como se puede ver, parece que los decimales de pi cumplen bastante
Ahora, unos cuantos números:-Nº de veces que aparece el uno:4060--10'2%
-Nº de veces que aparece el dos:3892--9'7%
-Nº de veces que aparece el tres:3971--10%
-Nº de veces que aparece el cuatro:4014--9'9%
-Nº de veces que aparece el cinco:4040--10'1%
-Nº de veces que aparece el seis:4026--10'1%
-Nº de veces que aparece el siete:3977--9'9%
-Nº de veces que aparece el ocho:4032--10'1%
-Nº de veces que aparece el nueve:3998--10%
-Nº de veces que aparece el cero:3989--9'9%
Como se puede ver, parece que los decimales de pi cumplen bastante
bien el requisito de estar distribuidos uniformemente.
Les pongo aquí otros histogramas, calculados para los valores de p(número de decimales considerados) p=10,100,1000,10000.
Para que comparen, y vean cómo la cosa se va haciendo cada vez más uniforme:
Bueno, yo diría que los decimales de pi son bastante aleatorios.
Pero para asegurarme, mañana haré el cálculo con p=1000000.
De ser aleatorios los decimales apenas debería haber diferencia de altura entre las barras del histograma.
Seguramente el cálculo le tome un tiempo enorme a mi pobre CPU,
pero bueno, todo sea por el bien de la ciencia P.
Sin embargo ahora mismo me apostaría unos leros virtuales a que los decimales de pi son aleatorios.
Así que cuestión resuelta
P.S:La diversión no acaba aquí:
P.S:La diversión no acaba aquí:
¿Qué ocurre con los decimales de e, la constante de Mascheroni o cualquier otro numero trascendente que se nos ocurra?
Bueno, para el lector que esté interesado en el tema (y que posea el porgrama Mathematica), voy a colgar en la sección de recursos el .nb que usé para hacer las cuentas.
Simplemente tienen que tocar los dos primeros números que aparecen, p es el número de decimales que entrarán en la estadística y n es el número decimal a considerar (pi, e...).
Deben asegurarse de introducir este número mediante una expresión que
le permita calcular a Mathematica los decimales que hagan falta
(pi y e ya vienen por defecto en Mathematica, y con muchos decimales,
así que en estos casos no hace falta).
Lo que quiero decir es que si van a trabajar con la cte. de Euler-Mascheroni
no pongan 5.77... sino una expresión analítica que tenga a esa constante
por límite, por ejemplo.
El resultado que obtendrán será un bonito histograma (con el 10 en el lugar del 0), y 10 números que serán el número exacto de veces que apareció cada dígito, en el orden 1,2,3...8,9,0. Sí, el 0 es el último.
El resultado que obtendrán será un bonito histograma (con el 10 en el lugar del 0), y 10 números que serán el número exacto de veces que apareció cada dígito, en el orden 1,2,3...8,9,0. Sí, el 0 es el último.
Quién quiera puede editarlo of course.
La idea matemática subyacente es muy sencilla.
*El decir que las parejas 00 a 99 tienen la misma probabilidad de aparecer (1%)equivale a decir que los dígitos individuales tienen cada uno la misma probabilidad de aparecer (10%), ya que así la probabilidad de aparición
*El decir que las parejas 00 a 99 tienen la misma probabilidad de aparecer (1%)equivale a decir que los dígitos individuales tienen cada uno la misma probabilidad de aparecer (10%), ya que así la probabilidad de aparición
de una pareja determinada es (1/10)(1/10)=1/100.
EDIT: Tesseract, me ha prestado una ayuda inestimable con el algoritmo de mi programa, mejorando su rapidez en varios órdenes de magnitud:
EDIT: Tesseract, me ha prestado una ayuda inestimable con el algoritmo de mi programa, mejorando su rapidez en varios órdenes de magnitud:
El caso p=500000, que se muestra abajo, lo realicé en apenas unos minutos con el algoritmo de Tesseract,
mientras que el mío hubiera tardado varias horas (el viernes pasado estuvo como 8 h y no acababa).EDIT 2: En los comentarios sobre este artículo se ha hecho ver que la condición que este proceso estudia y los decimales de pi cumplen (que cada cifra decimal aparece con la misma frecuencia relativa) es una condicion necesaria pero no suficiente para garantizar la aleatoriedad de los decimales de pi; La secuencia 123456789123456789123456789... pasaría este test
y obviamente no es aleatoria.
Lo que habría que hacer para subsanar esto es comprobar que las parejas 01,02,03...56...78..98..99,00 aparecen todas con igual frecuencia relativa
en los decimales de pi, y lo mismo con las ternas 001,002...998,999,000, con las cuaternas 0001...9999,0000 y así.
El numero pi cumple todos estos requisitos, como muestran algunos enlaces que podéis encontrar en los comentarios de este artículo.
Así que podemos decir sin miedo que es aleatorio, hasta donde sabemos
(no hay por el momento un prueba definitiva).
No hay comentarios:
Publicar un comentario