Teorema de Van Aubel, un sorprendente resultado geométrico.

Teorema de Van Aubel:

Dado un cuadrilátero cualquiera en un plano, a partir de cada lado dibujamos un cuadrado apoyado en él.

Entonces los segmentos que unen los centros de cuadrados situados en lados opuestos tienen la misma longitud y además son perpendiculares.

El hecho de que el cuadrilátero inicial no tenga ningún tipo de restricción es uno de los detalles que otorgan a este resultado la capacidad de dejar con la boca abierta a cualquiera que no lo conozca.

 Aquí tenemos una imagen para que podáis visualizarlo:

No me negarán que es ciertamente sorprendente, al menos en primera instancia, ¿verdad? 

Pero podemos ir más lejos…

…Repetimos: no hay ninguna restricción sobre el cuadrilátero inicial. 

Por ejemplo, podría ser no convexo y el teorema de Van Aubel 

seguiría cumpliéndose:

Y los lados podrían cortarse entre ellos y el teorema se seguiría cumpliendo:

¿Les suena este resultado? 

 De hecho encontrar este teorema de Van Aubel fue lo que me sugirió plantear este desafío. 

Por si alguien no se acuerda lo voy a recordar aquí:

Partiendo de un triángulo cualquiera de vértices ABC, tomamos dos de sus lados, AB y ACpor ejemplo, y dibujamos cuadrados apoyados en ellos.

Llamamos I y J a los centros de los dos cuadrados y H al punto medio del lado del triángulo donde no hemos apoyado ningún cuadrado (el BC en este caso).

El desafío de esta semana consiste en demostrar que los segmentos HI y HJ tienen la misma longitud y que además forman un ángulo de 90º.

La situación inicial puede verse en esta figura:

Pero creo que puede ser interesante comentar la solución. 

Vamos a ello:

Llamemos K al punto medio del lado AB y L al punto medio del lado AC, y dibujemos los triángulos HKJ y HLI.

Representamos también el segmento KL en línea discontinua, como aparece en la Figura 1:

Como el segmento LH une los puntos medios de los lados AC y BC, entonces es paralelo al otro lado, el AB.

Lo mismo ocurre con el segmento KL, que como une los puntos medios de los lados AB y AC será paralelo al otro lado, el BC.

Esto nos dice que BHLK es un paralelogramo, por lo que, en particular, los segmentos KB y LH son iguales.

Pero KB y JK también son iguales, por lo que obtenemos que JK=LH.

El mismo razonamiento nos sirve para llegar a que ALHK es un paralelogramo, por lo que, en particular, los segmentos AL yKH son iguales.

Pero AL y LI también lo son, por lo que ahora se obtiene que KH=LI.

Por otro lado, los triángulos KBH y LHC tienen sus lados iguales y paralelos, por lo que el ángulo BKH y el ángulo HLC son iguales.

Recapitulemos.

 Tenemos que los triángulo JKH y el HLI, pintados de rojo y verde respectivamente en la siguiente imagen (Figura 2)

tienen dos lados iguales (KJ=LH y KH=LI) y además también tienen igual el ángulo formado por esos lados (el ángulo JKH es 90º+BKH, y el HLI es 90º+HLC, que hemos visto antes que es igual a BKH).

Con esto podemos concluir que ambos triángulos son iguales, y el hecho de que sean iguales nos asegura que los segmentos HI y HJ tienen la misma longitud.

Falta demostrar que estos dos segmentos forman un ángulo de 90º. Pero esto es sencillo: JK forma un ángulo de 90º con AK, que es paralelo a LH.

Por tanto JK y LH forman un ángulo de 90º. Del mismo modo, LI forma un ángulo de 90º con AL, que es paralelo a KH.

Por tanto LI y KH forman un ángulo de 90º.

Como los triángulos son iguales, todo esto nos asegura que

 los segmentos HI y HJ forman un ángulo de 90º.