Es un hecho conocido por la comunidad mágica que:
Si se mezclan dos barajas de cartas y a continuación se reparten simultáneamente las cartas de cada una de ellas, se observa que un gran porcentaje de las veces hay al menos una carta que ocupa la misma posición en las dos barajas.
La gracia está en determinar qué significa un gran porcentaje de las veces.
En libros de magia se pueden leer cosas como:
"A veces no sucede a la primera pasada de cartas y es necesario volver
a barajar y empezar por segunda vez.
Nunca, sin embargo, se necesitarán más de dos intentos
para obtener este resultado".
¿Seguro?
Vamos a ver cuál es la probabilidad de que se produzca la coincidencia planteada. Adoptaremos una aproximación de suspense y no de sorpresa,
así que adelantamos que la probabilidad de que al mezclar dos mazos
de cartas (da igual españolas que de póquer o que mezclemos dos paquetes iguales de 13 cartas) haya alguna carta en la misma posición
en los dos mazos es muy cercana a
De hecho, es cierto el siguiente resultado.
Teorema:
Dados dos mazos idénticos de cartas mezclados, la probabilidad de que alguna carta esté en la misma posición en los dos mazos es exactamente
Observemos que :
Pues tenemos una serie alternada con términos que disminuyen
en valor absoluto.
Entonces el teorema nos dice que la probabilidad de coincidencia
es 
con un error más pequeño que 
.
con un error más pequeño que .
Luego para grande (digamos a partir de 10, por ejemplo) la probabilidad de que alguna carta coincida en la misma posición es con un error pequeñísimo, no dependiendo la probabilidad apenas de 
con un error pequeñísimo, no dependiendo la probabilidad apenas de
(el número de cartas de cada mazo), lo cual podría ser también poco intuitivo (al menos a mí no me parece muy intuitivo).
Observemos también que es curiosa la frecuencia con la que aparece
el número 
en contextos inesperados.
en contextos inesperados.
Vamos a demostrar el teorema.
Demostración:
Una vez mezclados los dos mazos, decimos que el orden de las cartas del primero de ellos es el bueno.
La primera carta es la carta 1, la segunda es la carta 2 y así sucesivamente. Entonces, considerando las cartas del otro mazo con esta numeración,
es como si hubiéramos mezclado un mazo con cartas numeradas
y nos preguntáramos si habrá alguna carta
en la posición que coincide con su número.
Una permutación que no deja fijo ningún elemento se llama desbarajuste. Nosotros estamos interesados en la probabilidad de que una permutación
de "n" no sea (o sí sea, igual nos da) un desbarajuste.
Como sabemos de sobra, el número de permutaciones de elementos
elementos
es 
. Calcularemos el número de desbarajustes usando
el principio de inclusión-exclusión.
El principio de inclusión-exclusión (abreviado con las graciosas siglas PIE)
no es otra cosa que la generalización del hecho de que el número de elementos de la unión de 
y
y
es el número de elementos de más el número de elementos de
más el número de elementos de
menos el número de elementos de la intesección de y
y
(como la intersección se cuenta dos veces al sumar los elementos de y
y
hay que restarla una vez).
El PIE nos dice que cuando tenemos uniones de más conjuntos, tras sumar
los elementos de cada conjunto y restar los de las intersecciones de dos,
hay que sumar luego las intersecciones de tres, restar las intersecciones
de cuatro, sumar las de cinco...
Con eso en mente, es fácil calcular el número de desbarajustes de elementos.
elementos.
Si llamamos 
al conjunto de las permutaciones de elementos
al conjunto de las permutaciones de elementos
con el número 
en la posición
en la posición
el número de desbarajustes de elementos será
Luego, el principio de inclusión-exclusión nos dice que:
Así, la probabilidad de que una permutación sea un desbarajuste es
que es lo que queríamos probar.
Por lo tanto, para mazos con un número de cartas no muy pequeño,
la probabilidad de que ninguna carta coincida en la misma posición
es muy cercana a 
La probabilidad de que realizando dos veces el experimento
ninguna coincida es muy cercana a
(que no es exactamente nunca). Y así sucesivamente.
