alquimiayciencias: El teorema de Dirichlet

martes, 21 de agosto de 2012

El teorema de Dirichlet es uno de los resultados más grandes obtenidos en teoría de números.

Este teorema calma por completo la curiosidad de saber si una progresión aritmética contiene infinitos números primos.

Dados $a,b\in\mathbb{N}$ , la progresión aritmética , donde recorre los naturales, contiene infinitos números primos si y sólo si , i. e.

a y b son números primos relativos.

Con este teorema todo se reduce a coser y cantar.

Como caso particular, la progresión aritmética contiene infinitos números primos, ya que .

Aún así veamos otra demostración de este hecho.

Supongamos, por contradición, que existen finitos números primos de la forma , listelos como , consideremos el número

$\displaystyle N=4\left(\prod_{k=1}^n p_k\right)^2+1$

De este modo para cualquier .

Ahora es primo o compuesto, si es primo habrá una contradicción, ya que habremos encontrado un primo fuera de la lista.

Si es compuesto, sea , distinto de uno, entonces

$4\left(\prod_{k=1}^n p_k\right)^2\equiv -1\pmod{p}$

.. $\left(2\prod_{k=1}^n p_k\right)^2\equiv -1\pmod{p}$ .

En otras palabras, la ecuación cuadrática

$x^2\equiv -1\pmod{p}$

tiene solución, esto es

$\boxed{\left(\frac{-1}{p}\right)=1}$

Uno de los suplementos de la ley de reciprocidad cuadrática dice que esto pasa si y solo si es de la forma .

De modo que hemos encontrado un número primo de la forma ,

si verificamos que no es uno de los listados habremos terminado.

¿Puede ser posible esto? De serlo, entonces

. $\displaystyle p|\prod_{k=1}^n p_k$

Este hecho, junto con implicaría que , contradicción.

De modo que es un primo distinto al listado,

y esto termina nuestra demostración.

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